Enunciado

Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.

59. f t = ( t - 1 ) ² em [ 0 ,   3 ]

Passo 1

Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:

M é d i a   f = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

E para calcularmos o valor dessa integral, assim como discutido nessa mesma seção, basta lembrarmos das seguintes integrais:

∫ a b x d x = b ² 2 - a 2 2 ,   a < b

∫ a b c d x = c b - a

∫ a b x ² d x = b ³ 3 - a 3 3 ,   a < b

Passo 2

Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão, teremos o seguinte:

Passo 3

Por fim, calculando o valor médio:

M é d i a   f = 1 3 - 0 ∫ 0 3 ( t 2 - 2 t + 1 ) d t

M é d i a   f = 1 3 ∫ 0 3 t ² d t - 2 3 ∫ 0 3 t d t + 1 3 ∫ 0 3 d t

M é d i a   f = 1 3 . 3 3 3 - 2 3 . 3 2 2 + 1 3 . 3

∴ M é d i a   f = 3 - 3 + 1 = 1

Resposta

M é d i a   f = 1

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Se f for contínuaem a , b , mostre que∫ a b f x d x ≤ ∫ a b f x d x [Sugestão: - f x ≤ f x ≤f x .]