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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 15

Calcule

int_1^4 (1)/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_1^4 (1)/(sqrt(x)) d x = int_1^4 x^(- (1)/(2)) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^(- (1)/(2)) d x , n = - (1)/(2)

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((- (1)/(2)) + 1))/((- (1)/(2)) + 1) = (x^((1)/(2)))/((1)/(2)) = 2 x^((1)/(2))

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: int_1^4 (1)/(sqrt(x)) d x = [2 x^((1)/(2))] (4)/(1) =

= 2 (4^((1)/(2)) - 1^((1)/(2))) = 2 xx (sqrt(4) - sqrt(1)) = 2 (2 - 1) = 2

Resposta

int_1^4 (1)/(sqrt(x)) d x = 2

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