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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 9

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x 2 y   d s

C : x = c o s   t ,   y = sin ⁡ t ,       z = t ,       0 ≤ t ≤ π / 2

Passo 1

E aí, galerinha!

A questão pede o valor da integral de linha quando calcularmos:

∫ C x 2 y   d s

Onde C é uma região curva, na qual o enunciado nos deu informações sobre ela:

x = cos ⁡ t  

y = s e n   t

z = t

0 ≤ t ≤ π / 2

Para integrais de linha, precisamos de parâmetros. No nosso caso, já temos t como um parâmetro. O que faremos a seguir, então, é organizar a integral através de uma fórmula e calculá-la. Show, né?

Passo 2

Uma das formas de calcular integrais de linhas é por essa fórmula:

∫ C f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ a b f x t ,   y t ,   z t d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

De início, precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = - s e n   t

d y d t = cos ⁡ t

d z d t = 1

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula, temos:

∫ 0 π / 2 cos ⁡ t 2 s e n   t - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 2 d t

∫ 0 π / 2 cos ⁡ t 2 s e n   t s e n 2 t + c o s 2 t + 1   d t

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , podemos então simplificar a expressão anterior:

∫ 0 π / 2 c o s 2 t   s e n   t   2   d t

Jogando para fora da integral como uma constante, vamos facilitar nossa vida:

2 ∫ 0 π / 2 c o s 2 t   s e n   t     d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

2 - 1 3 cos 3 ⁡ t 0 π 2

2 - 1 3 0 3 - - 1 3 1 3

2 0 + 1 3 = 2 3

Show de bola! 😊

Resposta

∫ C x 2 y   d s = 2 3

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4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Ondeg. Fx , y , z = x 2 - y 2 ,z 2 - x 2 ,y 2 - z 2 e C é a curva de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano y = 1 , percorrida no sentido anti-horario
Encontre a integral de linha de f ( x , y , x ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) sobre a curva r ( t ) = t i + t j + t k , 1 = t = oo .
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