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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 14

Encontre a integral de linha de f ( x , y , x ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) sobre a curva r ( t ) = t i + t j + t k , 1 <= t <= oo .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver esta questão você deve recordar o que podemos encontrar na teoria da página 363. Veja a seguir.

Passo 2

Para calcularmos a integral de f ( x , y , z ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) sobre uma curva C , dada por vec r ( t ) = t i + t j + t k , com 1 <= t <= oo devemos lembrar que, a integral de linha de f ( x , y , z ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) é calculada por int_C f ( x , y , z ) |(d vec r)/(d t)| d t , onde f ( x , y , z ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) é uma função contínua em C e |(d vec r)/(d t)| a velocidade instantânea sobre a curva C .

Passo 3

Precisamos agora encontrar o valor de f ( x , y , z ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) e de |(d vec r)/(d t)| A função será: f ( x , y , z ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) = sqrt(3) // (t^2 + t^2 + t^2) = sqrt(3) // 3 t^2 e (d vec r)/(d t) = vec i + vec j + vec k Sendo que seu módulo será dado por:

|(d vec r)/(d t)| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3)

Passo 4

Podemos agora voltar a forma da integral dada por int_0^1 f ( x , y , z ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t .Fazendo as substituições de f ( x , y , z ) e |(d overset(‾)(r))/(d t)| calculados anteriormente, teremos então que:

int_1^(oo) ((sqrt(3))/(3 t^2)) ( sqrt(3) ) d t = int_1^(oo) ((1)/(t^2)) d t = ([(- 1)/(t)]|_1^(oo)

A integral obtida é resolvida aplicando-se o limite e com isso chegamos ao resultado final:

([(- 1)/(t)]]_1^(oo) = underset(x -> oo)(l i m) (- (1)/(x) + 1) = 1

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y ) , onde C é a interseção das superfícies z = x 2 + y 2ez = 4 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 2 x - y + z d s , onde C é o segmento de reta que liga A ( 1,2 , 3 ) a B = 2,0 , 1 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 3 y - z d s , onde C é o arco da parábola z = y 2 ,x = 1 ,d eA 1,0 , 0 aB 1,2 , 4 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C x zd s , onde C é a interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano x = y .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C y ( x - z ) , onde C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9ex + z = 3 .