Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4g

4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

g. F   x , y , z = x 2 - y 2 ,   z 2 - x 2 ,   y 2 - z 2 e C é a curva de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano y = 1 , percorrida no sentido anti-horario

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro!!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a curva de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano y = 1 . Vamos achar uma parametrização para essa curva. Primeiro precisamos fazer a interseção da esfera com o plano

x 2 + y 2 + z 2 = 4

y = 1

Com isso chegamos a

x 2 + 1 2 + z 2 = 4

x 2 + z 2 = 3

Uma possível parametrização então para essa curva é

γ t = 3 cos ⁡ t ,   1   ,   3 sen ⁡ t

γ ' t = - 3 sen ⁡ t ,   0   ,   3 cos ⁡ t

t ∈ 0,2 π

Agora basta parametrizarmos nossa função

F   x , y , z = x 2 - y 2 ,   z 2 - x 2 ,   y 2 - z 2

F   γ t = 3 cos ⁡ t 2 - 1 2 ,   3 sen ⁡ t 2 - 3 cos ⁡ t 2 ,   1 2 - 3 sen ⁡ t 2

F   γ t = 3 cos 2 ⁡ t - 1 ,   3 sen 2 ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t ,   1 - 3 sen 2 ⁡ t

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

∫ 0 2 π 3 cos 2 ⁡ t - 1 ,   3 sen 2 ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t ,   1 - 3 sen 2 ⁡ t ⋅ - 3 sen ⁡ t ,   0   ,   3 cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π 3 cos 2 ⁡ t ⋅ - 3 sen ⁡ t + 3 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t - 3 sen 2 ⁡ t ⋅ 3 cos ⁡ t d t

Podemos facilitar nossa conta se pensarmos no seguinte. A integral da função seno e cosseno num ciclo completo, por exemplo o intervalo 0,2 π , se anula. Logo essa integração enorme fica

- 3 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t ⋅ sen ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⋅ cos ⁡ t d t

Esse tipo de integral sai por substituição por exemplo fazendo

u = cos ⁡ t

d u =   - sen ⁡ t d t

v = sen ⁡ t

d v = cos ⁡ t d t

Assim nossa integral fica

- 3 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t ⋅ sen ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⋅ cos ⁡ t d t

- 3 3 ∫ - u 2 d u + ∫ v 2 d v

=   - 3 3 - u 3 3 + v 3 3  

= - 3 3 - c o s 3 t 3 + s e n 3 t 3 0 2 π    

Para nossa sorte. Esse intervalo de integração também é nulo. Logo nosso resultado é

= 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → =   0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x 2 yd s C : x = c o st ,y = sin ⁡ t ,z = t ,0 ≤ t ≤ π / 2
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x y e y z d y C :x = t , y = t 2 , z = t 3 , 0 ≤ t ≤ 1
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C ( x 2 + y 2 + z 2 )d s C : x = t , y = cos ⁡ 2 t , z = sen ⁡ 2 t , 0 ≤ t ≤ 2 π
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 + z 2 )d s , onde C é a interseção das superfícies x 2 16 + y 2 9 + z 2 16 = 1ey = 2 .