Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4g
4. Calcule
Onde
g. e C é a curva de interseção da esfera com o plano , percorrida no sentido anti-horario
Passo 1
OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples
Logo se dissermos que
Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato
Bora cair dentro!!!! \o/
Passo 2
No nosso caso temos que C é a curva de interseção da esfera com o plano . Vamos achar uma parametrização para essa curva. Primeiro precisamos fazer a interseção da esfera com o plano
Com isso chegamos a
Uma possível parametrização então para essa curva é
Agora basta parametrizarmos nossa função
Passo 3
Bora integrar!
Podemos facilitar nossa conta se pensarmos no seguinte. A integral da função seno e cosseno num ciclo completo, por exemplo o intervalo , se anula. Logo essa integração enorme fica
Esse tipo de integral sai por substituição por exemplo fazendo
Assim nossa integral fica
Para nossa sorte. Esse intervalo de integração também é nulo. Logo nosso resultado é
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )