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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4h

4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

h. F   x , y , z = x y , x 2 + z ,   y 2 - x e C é a curva de interseção do cone x 2 + y 2 = z 2 ,   z > 0 com o cilindro   x = y 2 de 0,0 , 0 a 1,1 , 2

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro!!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a curva de interseção do cone x 2 + y 2 = z 2 ,   z > 0 com o cilindro   x = y 2 de 0,0 , 0 a 1,1 , 2 . Vamos achar uma parametrização para essa curva. Primeiro precisamos fazer a interseção da esfera com o cilindro

x 2 + y 2 = z 2

x = y 2

Com isso podemos fazer um sisteminha bem rápido e substituir uma equação na outra, obtendo

x 2 + x = z 2

z = x 2 + x

Uma parametrização surge pensando em x como única variável independente

γ t = t   ,   t ,   t 2 + t

γ ' t = 1 , 1 2 t , 2 t + 1 2 t 2 + t

t ∈ 0,1

Parametrizando nossa função podemos obter o seguinte

F   x , y , z = x y , x 2 + z ,   y 2 - x

F   γ t = t 3 / 2   , t 2 + t 2 + t ,   t - t

F   γ t = t 3 / 2   , t 2 + t 2 + t ,   0

Passo 3

Bora integrar!!!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

=   ∫ 0 1 t 3 / 2   , t 2 + t 2 + t ,   0 ⋅ 1 , 1 2 t , 2 t + 1 2 t 2 + t d t

=   ∫ 0 1 t 3 / 2 + t 3 2 2 + 1 2 t 2 + t t d t

=   ∫ 0 1 3 2 t 3 / 2 + 1 2 t + 1 d t

=   3 2 ⋅ 2 5 t 5 2 + 1 2 ⋅ 2 3 t + 1 3 2 0 1

= 3 5 t 5 2 + 1 3 t + 1 3 2 0 1  

= 3 5 + 1 3 2 3 2 - 1

= 4 + 10 2 15  

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → = 4 + 10 2 15  

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