Encontre o ângulo entres os vetores. (Primeiro encontre uma expressão exata e depois aproximea para o ângulo mais próximo.)

a = 4i - 3j + k

b = 2i - k

Passo 1

Bom galera, primeiro a gente vai escrever de uma forma mais legal os vetores:

a = 4 i - 3 j + k

b = 2 i - k

Que é a mesma coisa que:

a = 4 , - 3,1

b = ( 2,0 , - 1 )

Passo 2

Beleza, por definição o cosseno do ângulo entre dois vetores é:

cos ⁡ θ = a × b a ⋅ b

Ou seja, é a soma dos produtos de cada uma das dimensões dos vetores dividido pelo produto da norma euclidiana desses vetores, essa norma é a mesma coisa que pitagorás, sabe?

Pois é, se a gente pegar a função inversa do cosseno a gente vai encontrar o ângulo:

θ = cos - 1 ⁡ a × b a ⋅ b

Passo 3

Agora, a gente vai calcular a soma dos produtos das dimensões dos vetores:

a × b = 4 ⋅ 2 + - 3 ⋅ 0 + 1 ⋅ - 1

a × b = 7

Passo 4

E para o produto dos normalizados vamos calcular as normas:

a = 4 2 + ( - 3 ) 2 + 1 2 = 26

E:

b = 2 2 + 0 2 + - 1 2 = 5

Assim o produto dos dois é:

a ⋅ b = 26 ⋅ 5 = 130

Passo 5

Calma, agora é só botar naquela forma, essa aqui:

θ = cos - 1 ⁡ a × b a ⋅ b

Fica:

θ = cos - 1 ⁡ 7 130 = 52,1 °

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 7 130 = 52,1 °

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