Enunciado

10- Calcule.

d) int sec x d x

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício nós vamos ter que fazer uma substituição simples não muito trivial. Se liga na jogada:

Aqui nós vamos ter que começar multiplicando e dividindo a nossa função por um mesmo termo (porque assim a gente não altera ela). Mas qual termo ?

Esse aqui:

tan x + sec x

Então a nossa integral fica assim,

int sec x d x = int sec x ((sec x + tan x)/(tan x + sec x)) d x =

= int (sec^2 x + sec x tan x)/(tan x + sec x) d x

Nesse momento você pode estar se perguntando... Mas pra que isso?! E por que escolhemos tan x + sec x ?!

Olha só a sagacidade .... Você prestou atenção que:

(d)/(d x) ( tan x + sec x ) = sec^2 x + t a n x sec x

Esse não é exatamente o mesmo termo do nosso numerador ???? Então, agora a gente pode fazer uma substituição!

Passo 2

A integral que nós temos agora é,

int (sec^2 x + sec x tan x)/(tan x + sec x) d x

Fazendo,

u = tan x + sec x

d u = ( sec^2 x + sec x tan x ) d x

Substituindo na nossa integral, temos:

int (d u)/(u)

Lembre-se que:

int (1)/(x) d x = l n |x|

Dessa forma,

int (d u)/(u) = ln |u|

Passo 3

Desfazendo a substituição, temos:

int sec x d x = ln |tan x + sec x| + C

Feshow ?!

Até a próxima questão!

Resposta

ln |tan x + sec x| + C

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