6. Calcule

f ) int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x

Passo 1

Primeiro, é necessário fazer a distributiva, sendo da forma (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x = int [((1)/(2))^2 + 2 * (1)/(2) * (cos 2 x)/(2) + ((cos 2 x)/(2))^2] d x

Vamos usar novamente a identidade cos^2 alpha = (1)/(2) + (cos 2 a)/(2) , sendo a = 2 x

int ((1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (cos^2 2 x)/(4)) d x = int [(1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (1)/(4) * ((1)/(2) + (cos ( 2 * 2 x ))/(2))] d x =

int ((1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (1)/(8) + (cos 4 x)/(8)) d x = int [(3)/(8) + (cos 2 x)/(2) + (cos 4 x)/(8)] d x

Passo 2

Lembrando que, int c d x = c x + k e int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Sendo c , a e k constantes. Logo,

int [(3)/(8) + (cos 2 x)/(2) + (cos 4 x)/(8)] d x = (3)/(8) x + (1)/(2) * (sin 2 x)/(2) + (1)/(4) * (sin 4 x)/(8) + k = (3)/(8) x + (sin 2 x)/(4) + (sin 4 x)/(32) + k

Resposta

Assim, temos que

int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x = (3)/(8) x + (sin 2 x)/(4) + (sin 4 x)/(32) + k

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