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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 10f

10. Calcule

f)

int sec (3 x) d x

Passo 1

Queremos calcular o seguinte:

I = int sec (3 x) d x

Pra facilitar nossa vida, vamos fazer a seguinte troca de variável:

u = 3 x

Derivando,

d u = 3 d x -> d x = (1)/(3) d u

Passo 2

Nossa integral era:

I = int sec (3 x) d x

E vai ficar assim ó:

I = int sec (u) (1)/(3) d u

Como 1 // 3 é constante, podemos tira-lo da integral!

I = (1)/(3) int sec (u) d u

Da seção 12.1 desse capitulo, temos o seguinte:

l ) int s e c ( x ) d x = ln |sec (x) + t g (x)| + k

Passo 3

Usando esse lembrete ai de cima:

I = (1)/(3) (ln |sec (u) + t g (u)| + k_1)

Logo,

I = (1)/(3) ln |sec (u) + t g (u)| + (k_1)/(3)

Voltando para variável x :

u = 3 x

Substituindo u e trocando k_1 // 3 por k :

I = (1)/(3) ln |sec (3 x) + t g (3 x)| + k

Resposta

int sec 3 x d x = (1)/(3) ln |sec 3 x + tan 3 x| + k

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