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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1b

1. Calcule

b ) int x se n x d x

Passo 1

Fazendo uso da regra da integração por partes dada por int u d v = u v - int v d u . Sendo o u escolhido por LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial), nessa ordem. Logo, nesse caso o u vai ser a função algébrica. Assim, teremos

u = x => d u = d x

d v = se n x d x => v = - cos x

Passo 2

Agora, vamos substituir na regra

int u d v = u v - int v d u

int x se n x d x = x ( - cos x ) - int ( - cos x ) d x = - x cos x + se n x + k

Resposta

Logo,

int x se n x d x = = - x cos x + se n x + k

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Para qual tipo de problemas as técnicas de integração por substituição e integração por partes “competem” entre si? Descreva situações, como exemplos, em que cada uma dessas técnicas é preferível.
Em cada parte, use a integração por partes ou outros métodos para deduzir a fórmula de redução.(a) ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x (b) ∫ t g n x d x =
Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre y = s e n ( x ) e y = 0 , com 0 ≤ x ≤ π , gira em torno do eixo y .
Calcule ∫ xa r c tg ⁡ x d x usando integração por partes. Simplifique o cálculo de ∫ v d u introduzindo a constante de integração C 1 = 1 2 quando passar de d v para v .
Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre y = c o s ( x ) e y = 0 , com 0 ≤ x ≤ π 2 , gira em torno do eixo y .