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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 32

O campo de velocidade de um fluido em movimento é dado por v → = ( x , - y ) . Calcular a circulação do fluido ao redor da curva fechada C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 , onde

C 1 : Segmento de reta de A 0,0 e B ( 1,1 )

C 2 : parte da curva 4 x 2 - 12 x + 4 y 2 - 8 y + 12 = 0 do ponto B 1,1 a C ( 2,1 )

C 3 : segmento da reta C A

Passo 1

AAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Geometria analítica chamando.

Quando lidamos com segmento de reta, temos que nos entender como sortudos, mas para o caminho dois vamos precisar de um pouco mais de trabalho.

Assim que conseguirmos determinar todas as parametrizações, basta tomarmos

∫ C v → r → t ⋅ d r → t

Onde r → t é nossa parametrização.

Passo 2

Primeiro temos o segmento de reta do ponto A ( 0,0 ) a B ( 1,1 ) , onde é fácil ver que a parametrização para essa curva é

r 1 → t = ( t , t ) , t ∈ 0,1

Passo 3

A segunda parte temos que resumir nossa cônica para algo mais palpável. Vamos utilizar quadrado perfeito para isso.

4 x 2 - 12 x = 4 x 2 - 12 x + k 2 - k 2 = 2 x - k 2 - k 2

Onde o valor apropriado para k = 3

4 y 2 - 8 y = 4 y 2 - 8 y + l 2 - l 2 = 2 y - l 2 - l 2

Onde o valor apropriado para l = 2

Assim nossa cônica se resume em

2 x - 3 2 + 2 y - 2 2 = 1 → x - 3 2 2 + y - 1 2 = 1 4

Uma circunferência de raio 1/2 e centrada em 3 2 , 1 .

Assim podemos fazer

x - 3 2 = 1 2 cos ⁡ t → x = 1 2 cos ⁡ t + 3 2

e

y - 1 = 1 2 s e n   t → y = 1 2 s e n   t + 1

r → 2 t = ( 1 / 2   cos ⁡ t + 3 / 2 ,   1 / 2   s e n   t + 1 )

Onde t varia de π até 0 . Consegue visualizar isso?

Passo 4

Nosso último segmento é de C ( 2,1 ) a A ( 0,0 ) pela parametrização

r → t = ( 2 - 2 t , 1 - t )

Com t variando de 0   a   1

Passo 5

Por fim podemos calcular nossa integral por partes

∫ C 1 v → r → 1 t   ⋅ d r → 1 = ∫ C 1 t , - t ⋅ ( d t , d t ) = 0

Essa foi fácil, não?

Para C 2

∫ C 2 v → r → 2 t ⋅ d r → 2 = ∫ C 2 1 2 cos ⁡ t + 3 2 , - 1 2 s e n   t - 1 ⋅ - 1 2   s e n   t , - 1 2 cos ⁡ t d t

∫ π 0 ( 1 2 cos ⁡ t - 3 4 s e n   t ) d t = 1 2 s e n   t + 3 4 cos ⁡ t π 0 = 3 4 - - 3 4 = 3 2

E finalmente para C 3

∫ C 3 v → r → 3 t ⋅ d r → 3 = ∫ 0 1 2 - 2 t , t - 1 ⋅ - 2 d t , - d t

∫ 0 1 3 t - 3 d t = 3 2 t 2 - 3 t 0 1 = - 3 2

Assim temos que a integral final será nula, pois temos

0 + 3 2 - 3 2 = 0

Resposta

0

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