Verificar se o campo de forças f → é conservativo. Em caso afirmativo, determinar uma função potencial para esse campo e calcular o trabalho que ele faz sobre uma partícula que se desloca de A(1, -1,0) a B(2,3, 1) .

f → (2 * y^2 * x^2 * z, 3 * y^2 * x^2 * z, y^3 * x^2 + y)

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Teremos que, para que um campo vetorial ser conservativo, uma das condições é que o rotacional seja nulo. Corrigindo um possível erro que o enunciado nos dá, é que somente saberemos se o caso é afirmativo se existir a função potencial, logo não podemos confirmar antes de procurá-la. Mas vamos começar.

O rotacional é definido como

∇ × f → = d e t i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z f x f y f z

= ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z i ^ - ∂ f z ∂ x - ∂ f x ∂ z j ^ + ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y k ^

Caso o rotacional for zero, seguimos o passo a passo para determinar a função potencial durante nosso exercício, ok?

Passo 2

Vamos calcular o rotacional da função dada

∇ × f → = ∂ ( y 3 x 2 + y ) ∂ y - ∂ ( 3 y 2 x 2 z ) ∂ z i ^ - ∂ ( y 3 x 2 + y ) ∂ x - ∂ ( 2 y 2 x 2 z ) ∂ z j ^ + ∂ ( 3 y 2 x 2 z ) ∂ x - ∂ ( 2 y 2 x 2 z ) ∂ y k ^  

= 3 y 2 x 2 + 1 - 3 y 2 x 2 i ^ - 2 y 3 x - 2 y 2 x 2 j ^ + 6 y 2 x z - 4 y x 2 z k ^ ≠ 0

Logo para nossa função, temos que o campo vetorial não é conservativo, visto que o rotacional ser nulo é uma condição necessária, mas não suficiente como explicamos no passo 1.

Resposta

não é conservativo

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