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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 1a

Verificar se o campo de forças f → é conservativo. Em caso afirmativo, determinar uma função potencial para esse campo e calcular o trabalho que ele faz sobre uma partícula que se desloca de A ( 1 , - 1,0 ) a B 2,3 , 1 .

f → = ( 2 y 2 x 2 z , 3 y 2 x 2 z , y 3 x 2 + y )

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Teremos que, para que um campo vetorial ser conservativo, uma das condições é que o rotacional seja nulo. Corrigindo um possível erro que o enunciado nos dá, é que somente saberemos se o caso é afirmativo se existir a função potencial, logo não podemos confirmar antes de procurá-la. Mas vamos começar.

O rotacional é definido como

∇ × f → = d e t i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z f x f y f z

= ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z i ^ - ∂ f z ∂ x - ∂ f x ∂ z j ^ + ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y k ^

Caso o rotacional for zero, seguimos o passo a passo para determinar a função potencial durante nosso exercício, ok?

Passo 2

Vamos calcular o rotacional da função dada

∇ × f → = ∂ ( y 3 x 2 + y ) ∂ y - ∂ ( 3 y 2 x 2 z ) ∂ z i ^ - ∂ ( y 3 x 2 + y ) ∂ x - ∂ ( 2 y 2 x 2 z ) ∂ z j ^ + ∂ ( 3 y 2 x 2 z ) ∂ x - ∂ ( 2 y 2 x 2 z ) ∂ y k ^  

= 3 y 2 x 2 + 1 - 3 y 2 x 2 i ^ - 2 y 3 x - 2 y 2 x 2 j ^ + 6 y 2 x z - 4 y x 2 z k ^ ≠ 0

Logo para nossa função, temos que o campo vetorial não é conservativo, visto que o rotacional ser nulo é uma condição necessária, mas não suficiente como explicamos no passo 1.

Resposta

não é conservativo

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Represente geometricamente o campo vetorial dado.c) F → x , y =- y i → + x j → (observe: x i → + y j → - y i → + x j → = 0 )
Represente geometricamente o campo vetorial dado.f) v → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado. v → x , y = x 2 j →
2 ) Considere o campo vetorial F ( x ,y )=i +( x-y ) j . Desenhe F(x, y) nos pontos da reta a )y=x
2 ) Considere o campo vetorial F ( x ,y )=i +( x-y ) j . Desenhe F(x, y) nos pontos da reta b )y=x-1