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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 3

Calcular o volume do sólido delimitado por x^2 + y^2 = 4 , z = 0 e 4 x + 2 y + z = 16 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

O z será definido por:

z = 0

E:

4 x + 2 y + z = 16

z = 16 - 4 x - 2 y

Já o x nós teremos:

x^2 + y^2 = 4

x^2 = 4 - y^2

x = +- sqrt(4 - y^2)

Obrigatoriamente:

4 - y^2 >= 0

y <= +- 2

Que nos dá:

- 2 <= y <= 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭_T^() d V = ∬_R^() [int_0^(16 - 4 x - 2 y) d z] d x d y

Resolvendo:

int_0^(16 - 4 x - 2 y) d z = z = 16 - 4 x - 2 y

Sendo assim:

= ∬_R^() ( 16 - 4 x - 2 y ) d x d y

= int_(- 2)^2 [int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) 16 - 4 x - 2 y d x] d y

Resolvendo a integral:

= int_(- 2)^2 [int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) ( 16 - 4 x - 2 y ) d x] d y

Sabendo que:

int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) ( 16 - 4 x - 2 y ) d x = 16 x - (4 x^2)/(2) - 2 y x = 16 x - 2 x^2 - 2 y x

Aplicamos o intervalo:

= 16 ( 2 sqrt(4 - y^2) ) - 2 ( sqrt(4 - y^2 )^2 - (- sqrt(4 - y^2))^2 - 2 y ( 2 sqrt(4 - y^2) )

= 3 2 sqrt(4 - y^2) - 4 y sqrt(4 - y^2)

Então:

= int_(- 2)^2 [32 sqrt(4 - y^2) - 4 y sqrt(4 - y^2)] d y

Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos começar por:

int_(- 2)^2 [32 sqrt(4 - y^2)] d y

Chamando:

y = 2 s e n (u)

d y = 2 cos (u) . d u

O novo intervalo será:

s e n (u) = 1 -> u = (pi)/(2)

s e n (u) = - 1 -> u = - (pi)/(2)

Aplicando na integral:

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) [32 sqrt(4 - 4 s e n^2 ( u ))] 2 cos (u) . d u

= 64 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) [sqrt(4 ( 1 - s e n^2 (u) ))] cos (u) . d u

Aplicando a identidade:

= 64 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) [sqrt(4 cos^2 ( u ))] cos (u) . d u

= 128 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) [cos^2 ( u )] . d u

Sabendo que:

cos^2 ( u ) = (1 + cos ( 2 u ))/(2)

Então:

= 64 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) [1 + cos ( 2 u )] . d u

Usando uma nova substituição:

= 64 [u + (1)/(2) s e n (2 u)]

Aplicando o intervalo:

= 64 [pi + (1)/(2) ( s e n (pi) - s e n ( - pi )] = 64 pi

Já resolvemos uma, agora só falta a segunda:

int_(- 2)^2 [4 y sqrt(4 - y^2)] d y

Chamando:

u = 4 - y^2

d u = - 2 y . d y -> - (d u)/(2) = y . d y

= int_(- 2)^2 [4 u^((1)/(2))] (- (d u)/(2)) = - 2 int_(- 2)^2 u^((1)/(2)) d u

- 2 ((u^((3)/(2)))/((3)/(2))) = - (4)/(3) u^((3)/(2))

Substituímos u:

= - (4)/(3) ( 4 - y^2 )^((3)/(2))

Aplicando o intervalo:

= - (4)/(3) [(4 - 2^2)^((3)/(2)) - ( 4 - ( - 2 )^2 )^((3)/(2))] = 0

Então o resultado da nossa integral do Passo 2 será:

= 64 pi + 0

= 64 pi

O que acharam desta?

Resposta

64 pi

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