Calcular o volume do sólido delimitado por x^2 + y^2 = 4, z = 0 e 4x + 2y + z = 16

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

O z será definido por:

z = 0

E:

4 x + 2 y + z = 16

z = 16 - 4 x - 2 y

Já o x nós teremos:

x 2 + y 2 = 4

x 2 = 4 - y 2

x = ± 4 - y 2

Obrigatoriamente:

4 - y 2 ≥ 0

y ≤ ± 2

Que nos dá:

- 2 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∬ R ∫ 0 16 - 4 x - 2 y d z d x d y

Resolvendo:

∫ 0 16 - 4 x - 2 y d z = z = 16 - 4 x - 2 y

Sendo assim:

= ∬ R ( 16 - 4 x - 2 y ) d x d y

= ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 16 - 4 x - 2 y d x d y  

Resolvendo a integral:

= ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ( 16 - 4 x - 2 y ) d x d y

Sabendo que:

∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ( 16 - 4 x - 2 y ) d x = 16 x - 4 x 2 2 - 2 y x = 16 x - 2 x 2 - 2 y x

Aplicamos o intervalo:

= 16 ( 2 4 - y 2 ) - 2 ( 4 - y 2   2 - - 4 - y 2 2 - 2 y ( 2 4 - y 2 )

= 3 2 4 - y 2 - 4 y 4 - y 2

Então:

= ∫ - 2 2 32 4 - y 2 - 4 y 4 - y 2 d y

Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos começar por:

∫ - 2 2 32 4 - y 2 d y

Chamando:

y = 2 s e n   u

d y = 2 cos ⁡ u . d u

O novo intervalo será:

s e n   u = 1 → u = π 2

s e n   u = - 1 → u = - π 2

Aplicando na integral:

= ∫ - π 2 π 2 32 4 - 4 s e n 2 ( u ) 2 cos ⁡ u . d u

= 64 ∫ - π 2 π 2 4 ( 1 - s e n 2 u ) cos ⁡ u . d u

Aplicando a identidade:

= 64 ∫ - π 2 π 2 4 cos 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ u . d u

= 128 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) . d u

Sabendo que:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

Então:

= 64 ∫ - π 2 π 2 1 + cos ⁡ ( 2 u ) . d u

Usando uma nova substituição:

= 64 u + 1 2 s e n   2 u

Aplicando o intervalo:

= 64 π + 1 2 ( s e n   π - s e n   ( - π ) = 64 π

Já resolvemos uma, agora só falta a segunda:

∫ - 2 2 4 y 4 - y 2 d y

Chamando:

u = 4 - y 2

d u = - 2 y . d y →   - d u 2 = y . d y

= ∫ - 2 2 4 u 1 2 - d u 2 = - 2 ∫ - 2 2 u 1 2 d u

- 2 u 3 2 3 2 = - 4 3 u 3 2

Substituímos u:

= - 4 3 ( 4 - y 2 ) 3 2

Aplicando o intervalo:

= - 4 3 4 - 2 2 3 2 - ( 4 - ( - 2 ) 2 ) 3 2 = 0

Então o resultado da nossa integral do Passo 2 será:

= 64 π + 0

= 64 π

O que acharam desta?

Resposta

64 π

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