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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 13

Resolva as equações diferenciais

t^2 (d y)/(d t) + 3 t y = sqrt(1 + t^2)

Passo 1

Temos aqui uma equação linear em mãos. Isso significa que temos uma equação com essa estrutura

y^' + A (x) y = B ( x )

Para resolver essa equação precisamos treinar um novo truque. O FATOR INTEGRANTE. Eu vou mostrar de onde ele surge, mas depois que pegarmos o jeito podemos só usar a formulinha já pronta para resolver nosso problema.

Quando temos uma função comum, por exemplo :

y = f (x)

Se quisermos derivar ela, podemos fazer

(d)/(d x) y = (d)/(d x) f (x)

y^' = f ' ( x )

E claro, voltar para nossa função original seria bem fácil. Podemos integrar fazendo Separação de Variáveis

(d y)/(d x) = f ' (x)

d y = f ' (x) d x

int d y = int f ' (x) d x

y = f (x) + c

E agora se tivermos uma função desse jeito

y^' + A (x) y = B ( x )

Fica impossível separar as variáveis. Temos que usar uma nova técnica, a do FATOR INTEGRANTE. Podemos imaginar que lá no início na nossa primitiva temos uma função aleatória I (x) que multiplica nosso y . Pensar isso vai salvar a pátria. Saca só

I ( x ) y ( x ) = I ( x ) F ( x )

Então podemos derivar e teremos

(I ( x ) y ( x ))^' = (I ( x ) F ( x )) '

(I (x) y (x))^' = I^' (x) F (x) + I (x) F^' (x)

Podemos imaginar que essa função I ( x ) seja da família das exponenciais, logo sua derivada seria ela mesma, multiplicada por alguma outra função.

I^' (x) = I (x) A ( x )

Então ficamos com

(I (x) y (x))^' = I (x) A ( x ) F (x) + I (x) F^' (x)

(I (x) y (x))^' = I (x) [A (x) F (x) + F^' (x)]

O legal dessa técnica é que o termo em colchetes é tudo o que fica do lado direito da nossa equação linear

y^' + A (x) y = B ( x )

Então esse B (x) é nosso termo entre colchetes

B (x) = A (x) F (x) + F^' (x)

(I (x) y (x))^' = I (x) B (x)

Agora se integrarmos de ambos os lados teremos

int (I (x) y (x))^' d x = int I (x) B (x) d x

I (x) y (x) = int I (x) B (x) d x + C

y (x) = (1)/(I (x)) int I (x) B (x) d x + C

Estamos quase acabando. Esse I ( x ) é só uma bengala na nossa solução. Temos que nos livrar dele. Por suposição fizemos

I^' (x) = I (x) A ( x )

Com isso podemos conseguir achar nosso fator integrante em função da nossa função genérica

(d)/(d x) I (x) = I (x) A ( x )

(1)/(I (x)) d I (x) = A (x) d x

ln ( I ( x ) ) = int A ( x ) d x

I ( x ) = e^(int A ( x ) d x)

Essa integral teria que ter uma constante arbitraria. Mas como já vamos colocar uma constante lã no final da integral. Podemos arbitrar que a de agora seja nula. Beleza? Podemos prosseguir então. Conseguimos fazer que nossa equação Diferencial Linear tivesse a seguinte solução

y (x) = (1)/(I (x)) int I (x) B (x) d x + C

Sendo nosso fator integrante

I ( x ) = e^(int A ( x ) d x)

Vamos agora analisar nossa equação do exercício

Passo 2

Temos

t^2 (d y)/(d t) + 3 t y = sqrt(1 + t^2)

Vamos dar uma arrumada para ficar do jeito canônico

t^2 y^' + 3 t y = sqrt(1 + t^2)

y^' + (3)/(t) y = (sqrt(1 + t^2))/(t^2)

Sabemos então que nossa solução será

y (t) = (1)/(I (t)) int I (t) B (t) d t + C

Onde nosso

A (t) = (3)/(t)

B (t) = (sqrt(1 + t^2))/(t^2)

Passo 3

Vamos descobrir o Fator Integrante

I ( t ) = e^(int A (t) d t)

I ( t ) = e^(int (3)/(t) d t)

I (t) = e^(3 l n t) -> t^3

Passo 4

Agora sim, podemos resolver nossa equação linear

y (t) = (1)/(t^3) int t^3 * (sqrt(1 + t^2 ))/(t^2) d t + C

y (t) = (1)/(t^3) int t sqrt(1 + t^2) d t + C

Podemos resolver essa integral por substituição

int t sqrt(1 + t^2) d t

u = 1 + t^2

d u = 2 t d t

= int (1)/(2) sqrt(u) d u

= u^((3)/(2)) * (1)/(2) * (2)/(3)

= (u^((3)/(2)))/(3)

Agora só precisamos voltar de u -> t

= (1)/(3) (1 + t^2)^(3 // 2)

Unindo todos os pedaços temos que :

y (t) = (1)/(t^3) [((1)/(3) (1 + t^2)^(3 // 2)) + C]

Viu que depois que a gente já está afiado com a teoria, aplicar a formula fica até mais rápido? Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y (t) = (1)/(t^3) [((1)/(3) (1 + t^2)^(3 // 2)) + C]

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