Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 79
Para certa mercadoria de que unidades são demandadas semanalmente quando é o preço de cada unidade, . O custo médio de produção de cada unidade é dado por e . Ache o número de unidades produzidas a cada semana e o preço de cada unidade para maximizar o lucro semanal.
Passo 1
Bom, se a questão pede a maximização do lucro, devemos pensar em construir uma função que expresse o lucro depedendo de alguma outra variável, seja o preço da unidade ou a quantidade de unidades prodizidas, posso escolher fazer o lucro em função das unidades produzidas?!
Primeiro devemos pensar que o lucro em cima de uma única unidade produzida é a diferença entre o preço de venda e o custo de produção. Temos, nas questão, a função do custo de produção, falta encontrarmos uma função que expresse o preço de venda em função das unidades produzidas:
Passo 2
Agora podemos deduzir uma expressão do lucro em cima de cada unidade vendida:
Mas estamos a procura de uma função que expresse o lucro total. Pode-se perceber facilmente que o lucro total é igual ao numero total de unidades vendidas vezes o lucro de cada unidade , logo:
Passo 3
Para maximixar a função, agora basta derivarmos e igualar a zero para encontrar o extremo relativo:
Como , então descartamos o e o número total de mercadora deve ser 1000 unidades.
Passo 4
Por fim, usamos a função do custo em função da quantidade de unidades produzidas :