Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 19
Numa certa reação química, a taxa de conversão de uma substância é proporcional à quantidade da substância que ainda não reagiu até aquele instante. Após 10 min, um terço da quantidade da substância original já reagiu e 20 g já reagiram após 15 min. Qual era a quantidade original da substância?
Passo 1
Se for a quantidade de substância que ainda não reagiu após min, e se for a quantidade inicial da substância, o enunciado diz que a taxa de decrescimento de é proporcional a . Temos então a seguinte equação diferencial:
Devemos então resolver a equação para , e .
Passo 2
Vamos primeiro separar as variáveis e na equação:
Agora podemos integrar os dois lados:
O que nos leva a:
sendo uma constante e .
Passo 3
Como , temos:
De , tiramos:
Passo 4
Nossa equação é então:
Mas sabemos que , o que nos leva a:
Resposta
43,89 g.