Suponha que faltem 3 horas para um estudante fazer um exame e durante esse tempo ele deseja memorizar um conjunto de 60 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem memorizados. Assim, se o estudante memorizar y fatos em t min,

dy/dt = k(60 - y)

onde k é uma constante positiva e y < 60 para todo t >= 0 . Supõe-se que inicialmente zero fato seja memorizado. Se o estudante memoriza 15 fatos nos primeiros 20 min, quantos fatos ele irá memorizar em

(b) 3h

Passo 1

Obtemos no item (a) a função que relaciona a quantidade y de fatos memorizados em função do tempo t em minutos passado. A função é:

y t = 60 ( 1 - e - 1 20 ln ⁡ 4 3   t )

Queremos agora achar o valor da função para t = 180   m i n .

Passo 2

Pela fórmula, temos então:

y 180 = 60 1 - e - 18 0 20 ln ⁡ 4 3 = 60 1 - e ln ⁡ 4 3 - 9

= 60 1 - 4 3 - 9 = 60 1 - 3 9 4 9 ≈ 55,49

Resposta

Ele irá ter memorizado 55 fatos em 3 horas.

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