Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 20
O açúcar se dissolve em água a uma taxa proporcional à quantidade que permanece não dissolvida. Se havia 50 kg de açúcar para serem dissolvidos e ao final de 5 h ainda haviam 20 kg não dissolvidos, quanto tempo levará para que 90% do açúcar seja dissolvido?
Passo 1
Se for a quantidade de açúcar que ainda não foi dissolvido após horas, o enunciado diz que a taxa de decrescimento de é proporcional a . Temos então a seguinte equação diferencial:
Devemos então resolver a equação para , , para então encontrar o valor de para o qual .
Passo 2
Vamos primeiro separar as variáveis e na equação:
Agora podemos integrar os dois lados:
O que nos leva a:
sendo uma constante e .
Passo 3
Como , temos:
De , tiramos:
Passo 4
Nossa equação é então:
Queremos o valor de para o qual
Aplicando dos dois lados:
Resposta
12,56 horas.