A extremidade vertical de um tanque de água tem 3 m de largura na borda e 2 m de profundidade, tendo a forma da região limitada pelo eixo x e pelo arco da curva y = 2 * sen(1/3 * π * x) . Se o tanque estiver cheio de água, ache a força exercida pela pressão da água na extremidade.

Passo 1

A questão pede a força exercida sobre a extremidade de um tanque com água cujo formato é a região delimitada pela curva y = 2   s e n 1 3 π x e o eixo x .

O formato da extremidade do tanque é indicado na figura a seguir:

Por simplicidade, vamos adotar que o eixo y aponta para baixo.

Este é um exemplo em que é muito útil usar a fórmula (4) da seção 6.7. A fórmula basicamente diz que a força é

F = ρ g y - A ,

onde y - é o centroide da placa. Você deve lembrar que na seção 6.5.1 definimos o centroide como

y - = 1 A ∫ 1 2 ( f x ) 2   d x

Neste caso, temos que f x = 2   s e n 1 3 π x . Assim,

y - A = 1 2 ∫ 0 3 4 s e n 2 1 3 π x   d x

Assim,

y - A = 2 ∫ 0 3 s e n 2 1 3 π x   d x

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos fazer a substituição t = π x / 3 Assim, d x = 3 d t / π :

y - A = 6 π ∫ 0 π s e n 2 t   d t

Agora você precisa lembrar que

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Assim,

y - A = 3 π ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t   d t

Fazendo a integração:

y - A = 3 π t - 1 2 s e n   2 t 0 π = 3 π π - 1 2 s e n   2 π - 0 + 1 2 s e n   0

Portanto,

y - A = 3

Desta forma,

F = ρ g y - A = 3 ρ g

Passo 3

Usando ρ = 100 0   k g / m 3 e g = 9,8   m / s 2 , temos que

F ≈ 29400   N

Resposta

29400   N

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