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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 26b

Um trabalhador recém contratado para uma linha de montagem pode fazer uma determinada tarefa, de tal forma que se y unidades forem completadas por dia após t dias na linha de montagem, então

d y d t = k ( 90 - y )

onde k é uma constante positiva e y < 90 para todo t ≥ 0 . No primeiro dia de trabalho 60 unidades são completadas e após 5 dias de trabalho, o trabalhador faz 75 unidades por dia.

(a) Mostre que após 30 dias ele estará produzindo quase a pleno potencial.

Passo 1

Obtemos no item (a) a função que relaciona a quantidade y de unidades completadas por dia em função do número t de dias passados na linha de montagem. A função é:

y t = 30 ( 3 - e - ln ⁡ 2 5   t )

Sabemos que a produtividade máxima que ele pode alcançar é de 90 unidades por dia. Queremos então calcular y ( 30 ) e comparar com este valor.

Passo 2

Pela fórmula, temos então:

y ( 30 ) = 30 3 - e - 30 ln ⁡ 2 5 = 30 1 - e ln ⁡ 2 - 6

= 30 3 - 2 - 6 = 30 3 - 1 2 6 ≈ 89,53

Provamos então que y ( 30 ) está próximo de 90, a produtividade máxima do trabalhador.

Resposta

y 30 = 89,53 ; quase 90 unidades.

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