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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 49

Em certo campus universitário a função densindade de probabilidade de que a duração de uma chamada telefônica seja x   m i n é dada por

f x = 0,4 e - 0,4 x s e x ≥ 0 0 s e x < 0

Qual a probabilidade de que um telefonema escolhido ao acaso dure:

a ) entre 2 e 3   m i n ;

b ) seja no máximo 3   m i n ;

c ) no mínimo 10 minutos?

Passo 1

Para acharmos a probabilidade, devemos fazer a integral da função no intervalo que ele pediu.

Então na letra a , vamos ter:

P 2 < x < 3 = ∫ 2 3 0,4 e - 0,4 x d x

Vamos começar resolvendo a integral

∫ 0,4 e - 0,4 x d x

Fazendo:

a = - 0,4 x → d a = - 0,4 d x → 0,4 d x = - d a

∫ 0,4 e - 0,4 x d x = ∫ - e a d a = - e a + C

Voltando para   x

- e a + C = - e - 0,4 x + C

Passo 2

A probabilidade vai ser

P 2 < x < 3 = - e - 0,4 x 2 3 = - e - 0,4 3 - - e - 0,4 2 = - e - 1,2 + e - 0,8

Passo 3

Na letra b , vamos ter:

P 0 < x < 3 = ∫ 0 3 0,4 e - 0,4 x d x

Vamos começar resolvendo a integral

A probabilidade vai ser

P 0 < x < 3 = - e - 0,4 x 0 3 = - e - 0,4 3 - - e - 0,4 0 = - e - 1,2 + 1

Passo 4

Agora, vamos para a outroa probabilidade

P x > 10

Para isso, a nossa integral vai de 10 até + ∞ que é o tempo infinito mesmo. Quando ele pedir pelo menos alguma coisa, sempre vai desse valro até + ∞

P x > 10 = ∫ 1 0 + ∞ 0,4 e - 0,4 x d x

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 1 0 + ∞ 0,4 e - 0,4 x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 0 b 0,4 e - 0,4 x d x

Sabemos que

∫ 0,4 e - 0,4 x d x = - e - 0,4 x

Logo

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 10 b 0,4 e - 0,4 x d x = lim b → + ∞ ⁡ - e - 0,4 x 10 b = lim b → + ∞ ⁡ - e - 0,4 b - - e - 0,4 10 =

lim b → + ∞ ⁡ - e - 0,4 b + e - 4 = - e - ∞ + e - 4 = 0 + e - 4 = e - 4

Resposta

Letra a )

- e - 1,2 + e - 0,8

Letra b )

- e - 1,2 + 1

Letraa c )

e - 4

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