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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 25

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 1 3 d y y - 2 3

Passo 1

Essa é aquela integral imprópria com descontinuidade. Como vamos verificar isso? Precisamos olhar o denominador da expressão dentro da integral e determinar quando ele será 0 .

y - 2 = 0

y = 2

Esse é o ponto de descontinuidade.

Repare que a integral vai de 1 até 3 o 2 está nesse meio do caminho, então temos que separar a integral em duas:

∫ 1 3 d y y - 2 3 = ∫ 1 2 d y y - 2 3 + ∫ 2 3 d y y - 2 3

Para cada integral, devemos fazer

Para isso, devemos fazero limite da seguinte forma.

∫ 1 2 d y y - 2 3 = lim a → 2 - ⁡ ∫ 1 2 d y y - 2 3

Lembrando que como estamos pegando a parte antes de 2 , devemos fazer o limite lateral pela esquerda.

∫ 1 2 d y y - 2 3 = lim b → 2 + ⁡ ∫ b 3 d y y - 2 3

Lembrando que como estamos pegando a parte depois de 2 , devemos fazer o limite lateral pela direita.

∫ 1 3 d y y - 2 3 = lim a → 2 - ⁡ ∫ 1 2 d y y - 2 3 + lim b → 2 + ⁡ ∫ b 3 d y y - 2 3

E temos que calcular essas duas integrais separadamente.

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

∫ d y y - 2 3

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ d y y - 2 3

Para resolvê-la, vamos usar a substituição

y - 2 = x → d y = d x

Nossa integral vai ficar:

∫ d y y - 2 3 = ∫ d x x 3

Escrevendo aquela raiz como potência

1 x 3 = 1 x 1 3 = x - 1 3

A integral vai ficar:

∫ d x x 3 = ∫ x - 1 3 d x = - 1 3 x - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 + C = - 1 3 x 2 3 2 3 + C = - 1 2 x 2 3 + C

Voltando para o y

- 1 2 x 2 3 + C = - 1 2 y - 2 2 3 + C

Juntei o 1 à constante ali no ultimo passo.

Passo 3

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

lim a → 2 - ⁡ ∫ 1 2 d y y - 2 3 = lim a → 2 - ⁡ - 1 2 y - 2 2 3 1 a =

lim a → 2 - ⁡ - 1 2 a - 2 2 3 - - 1 2 1 - 2 2 3 = lim a → 2 - ⁡ - 1 2 a - 2 2 3 - - 1 2 - 1 2 1 3 =

lim a → 2 - ⁡ - 1 2 a - 2 2 3 + 1 2 = - 1 2 2 - 2 2 3 + 1 2 = 1 2

Passo 4

Vamos ao outro limite

lim b → 2 + ⁡ ∫ 2 3 d y y - 2 3 = lim b → 2 + ⁡ - 1 2 y - 2 2 3 b 3 =

lim b → 2 + ⁡ - 1 2 3 - 2 2 3 - - 1 2 b - 2 2 3 = lim b → 2 + ⁡ - 1 2 1 2 1 3 - - 1 2 a - 2 2 3 =

lim a → 2 - ⁡ - 1 2 + 1 2 a - 2 2 3 = - 1 2 + 1 2 2 - 2 2 3 = - 1 2

Passo 5

Voltando para nossa integral:

∫ 1 3 d y y - 2 3 = 1 2 + - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 0

Resposta

0

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