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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 24

Calcule a integral abaixo sem usar tabela :

int_(- oo)^(oo) 2 x e^(- x^2) d x

Passo 1

Neste caso temos uma integral com os dois limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - oo , oo ) , então:

int_(- oo)^(oo) f (x) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 f ( x ) d x + underset(b -> oo)(lim) int_0^b f ( x ) d x

Assim:

int_(- oo)^(oo) 2 x e^(- x^2) dx = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 2 x e^(- x^2) d x + underset(b -> oo)(lim) int_0^b 2 x e^(- x^2) d x

Passo 2

Calculando a integral de forma indefinida por substituição, temos:

int 2 x e^(- x^2) d x

u = - x^2 d u = - 2 x d x => - d u = 2 x d x

int 2 x e^(- x^2) d x = int - e^u d u = - e^u + C = - e^(- x^2) + C

Lembre-se que esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 3

Aplicando o resultado da integral dentro do limite com seus limites de integração, temos:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 2 x e^(- x^2) d x + underset(b -> oo)(lim) int_0^b 2 x e^(- x^2) d x = underset(a -> - oo)(lim) ( - e^(- x^2) ) (0)/(a) + underset(b -> oo)(lim) ( - e^(- x^2) ) (b)/(0) =

= underset(a -> - oo)(lim) (- e^0 - (- e^(- a^2))) + underset(b -> oo)(lim) (- e^(- b^2) - (- e^0))

Relembrando que de forma genérica calculamos a integral definida da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Aplicando o limite, temos:

underset(a -> - oo)(l i m) [- 1 + (1)/(e^(a^2))] + underset(b -> oo)(lim) (- (1)/(e^(b^2)) + 1) = [- 1] + [1] = 0

Resposta

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