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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.8 - Ex. 23

a) Mostre que o fluxo exterior do campo vetorial de posicao F = xi + yj + zk atraves de uma superficie S fechada e lisa e tres vezes o volume da regiao delimitada pela superficie.

b) Seja n o campo vetorial unitario normal exterior em S. Mostre que nao e possivel que F seja ortogonal a n em todo ponto de S.

Passo 1

Falaaaa rapaziada tudo blz ?

Na letra (a), temos que

∂ ∂ x x = 1 ,         ∂ ∂ y y = 1 ,                 ∂ ∂ z z = 1

Vamos assim ter que,

∇ . F = 3 →   o fluxo vai ficar

∬ D ∫ 3   d v =   3 ∬ D ∫   d v =   3

Passo 2

Na letra (b) sabendo que se F é ortogonal a n em todos os pontos de S, então F . n = 0 em todos os lugares de ∫ S ∫ F n   d σ = 0 . Mas o fluxo é igual a,

3 ≠ 0

Com isso F não é ortogonal para todos os pontos.

Resposta

a) 3

b) 3 ≠ 0 Com isso F não é ortogonal para todos os pontos.

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Calcule o divergente do campo vetorial dado.vec F (x , y , z) = (x^2 - y^2) vec i + s e n (x^2 + y^2) vec j + a r c t g z vec k
Calcule o divergente do campo vetorial dado.vec F (x , y , z) = (x^2 + y^2 + z^2) a r c t g (x^2 + y^2 + z^2) vec k
Seja φ x , y = f x 2 + y 2 , onde f ( u ) é uma função real, de uma variável real e derivável até a 2ª ordem. Suponha que ∇ 2 φ = 0 .Mostre que uf ' ' u = - f ' u ,u0 .Determine uma f não constante, p