Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 36
Cone O segmento de reta que une a origem ao ponto (h, r) é girado sobre o eixo x para gerar um cone de altura h e base de raio r. Encontre a área de superfície do cone com as equações paramétricas . Confira seu resultado com a fórmula geométrica: (geratriz).
Passo 1
Fala, galera! Ficou um pouco confuso nesta questão? Então, vem comigo resolver mais uma!
Essa questão na verdade é bem parecida com a anterior, então vamos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio. Vamos começar tentando entender como a parametrização do enunciado se comporta. Em , temos e, para , temos . Como a reta é girada em torno do eixo , vamos usar a fórmula
Lembrando que essa é a fórmula para quando a curva é girada em torno do eixo . Se for em torno do eixo , a gente troca por na fórmula da área.
Passo 2
Para usar a fórmula do Passo 1, a primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas
Agora, a gente calcula a raiz quadrada:
Tudo tranquilo até agora? Então, vamos dar continuidade!
Passo 3
Agora, calculamos a integral
Aqui, temos que explicar que no enunciado do livro temos um erro de digitação. Na verdade, a área de superfície do cone é , onde é a geratriz, ou seja, a medida da “diagonal” que é justamente .
É só isso, pessoal! Gostaram? Então, nos vemos na próxima!