Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 41
O comprimento é independente da parametrização Para ilustrar o fato de que os números que obtemos para comprimento não dependem da forma que parametrizamos nossas curvas (exceto pelas leves restrições que previnem a volta mencionada anteriormente), calcule o comprimento do semicírculo com essas duas parametrizações diferentes:
a.
b.
Passo 1
Fala, galera! Nessa questão temos que calcular o comprimento da curva usando as duas parametrizações dadas. Para isso, vamos usar a fórmula
Então, calculamos as derivadas, depois a raíz, depois a integral. Vamos lá? Vem comigo!
Passo 2
a. As derivadas são
Assim, temos
e
Passo 3
b. Agora vamos fazer a mesma coisa para a outra parametrização:
Assim, temos
e
Olha só que legal, o resultado dos dois itens deu exatamente o mesmo, como o enunciado falou. Ou seja, o comprimento da curva não depende da parametrização. Curtiu? Responde Aí!
Resposta
a.
b.