Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

25. r^2 = 8 * cos^2(theta) , r = 2

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. A gente aqui hoje vai calcular a área.

A gente tem as curvas:

r 2 = 8 cos ⁡ 2 θ

r = 2

E precisamos então encontrar a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

Veja que estamos trabalhando aqui com coordenadas polares, e a área para coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b r 2 d θ

Passo 2

Agora vamos visualizar as duas curvas no plano polar, e montar a estratégia de resolução. Vamos utilizar aqui um software matemática para esboçar essa curva, estarei utilizando o GeoGebra.

Precisamos encontrar a região que está dentro da curva vermelha e fora da curva azul na imagem abaixo:

Essa região aqui:

Para encontrarmos o intervalo do ângulo, nosso limite de integração, vamos igualar as duas equações:

8 c o s 2 θ = 2 2

c o s 2 θ = 1 2

2 θ = ± π 3

Que corresponde ao valor de θ para os dois pontos de interseção no lado direito da figura acima, como ela é simétrica em relação aos dois eixos, podemos integrar no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 6 e multiplicar a integral por quatro.

Veja que se a gente calcular a área da figura do ‘loop’, e excluirmos a área do círculo, é exatamente o que a gente precisa. Então a gente vai fazer justamente isso.

E a integral da área:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 - g θ 2 d θ

Onde f θ = 8 c o s 2 θ e g θ = 2 .

Passo 3

Vamos então resolver nossa integral, lembre-se que iremos multiplicar por 4 :

A = 4 ∙ 1 2 ∫ 0 π 6 8 cos ⁡ 2 θ - 4 d θ

= 2 ∫ 0 π 6 4 2 cos ⁡ 2 θ - 1 d θ

Realizando a integração:

= 8 sin ⁡ 2 θ - θ 0 π 6

= 8 sin ⁡ θ 3 - π 6 - sin ⁡ 0 - 0

A = 8 3 2 - π 6

A = 4 3 - 4 3 π

Resposta

A = 4 3 - 4 3 π

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