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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 16

Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local de f em x 0   =   1 , onde Δ x = x - 1

a r c sin ⁡ x 2   ; a r c sin ⁡ 1 2 + 1 2 Δ x ≈ π 6 + 1 3 Δ x  

Passo 1

Temos que a Fórmula (2) nos diz que:

f x 0 + Δ x ≈ f x 0 + f ' x 0   Δ x

Se aplicarmos ela em f x = a r c sin ⁡ x 2       com x 0   =   1 , teremos:

f x 0 = f 1 = a r c sin ⁡ 1 2   = π 6

Derivando a expressão:

f ' x = a r c sin ⁡ x 2   ' = 1 2 1 - x 2 2  

⇒         f ' x 0 = f ' 1 = 1 2 1 - 1 2 2 =   1 2 3 4

⇒         f ' x 0 = 1 3

Passo 2

Substituindo todos esses dados na Fórmula (2):

f x 0 + Δ x     =     a r c sin ⁡ x 0 2 + Δ x 2       ≈     f x 0 + f ' x 0   Δ x

Como x 0 = 1  

  a r c sin ⁡ 1 2 + Δ x 2   ≈ f ( 1 ) + f ' ( 1 )     Δ x

a r c sin ⁡ 1 2 + Δ x 2   ≈ π 6 + 1 3 Δ x

Confirmado 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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