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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 17

Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local em x 0   =   0 e use um recurso computacional para estimar um intervalo de valores de x no qual o erro na aproximação é de, no máximo, ± 0,1 .

x + 3     ≈ 3 + 1 2 3 x

Passo 1

A Fórmula (1) diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Para nossa função f x = x + 3     em x 0   =   0 vamos ter que:

f x 0 = f 0 = 0 + 3   = 3

Derivando a expressão:

f ' x = x + 3   ' = 1 2 x + 3  

f ' x 0 = f ' ( 0 ) = 1 2 0 + 3   = 1 2 3

Passo 2

Substituindo todos esses dados na Fórmula (1)

f x = x + 3   ≈ f x 0 + f ' x 0 x - x 0

Como x 0 = 0

x + 3   ≈ f 0 + f ' 0 x - 0

x + 3   ≈ 3 + 1 2 3 ( x - 0 )

x + 3   ≈ 3 + 1 2 3 x

Confirmado 😊

Passo 3

Para que o erro na aproximação seja de, no máximo, ± 0,1 .

  f x - f x a p r o x i m a d o ≤ 0,1

  x + 3   - 3 - 1 2 3 x ≤ 0,1

Usando artifícios computacionais podemos resolver a inequação achar o intervalo que garante erro máximo de ± 0,1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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