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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 20

Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local em x 0   =   0 e use um recurso computacional para estimar um intervalo de valores de x no qual o erro na aproximação é de, no máximo, ± 0,1 .

1 1 + 2 x 5   ≈ 1 - 10 x

Passo 1

A Fórmula (1) diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Para nossa função f x = 1 1 + 2 x 5   em x 0   =   0 vamos ter que:

f x 0 = f 0 = 1 1 + 2 ( 0 ) 5 = 1

Derivando a expressão:

f ' x = 1 1 + 2 x 5     ' = - 10 1 + 2 x 6

f '     x 0 = f ' 0 = - 10 1 + 2 0 6 = - 10

Passo 2

Substituindo todos esses dados na Fórmula (1)

f x = 1 1 + 2 x 5 ≈ f x 0 + f ' x 0 x - x 0

Como x 0 = 0

1 1 + 2 x 5 ≈ f 0 + f ' 0 x - 0

1 1 + 2 x 5 ≈ 1 + ( - 10 ) ( x - 0 )

1 1 + 2 x 5 ≈ 1 - 10 x

Confirmado 😊

Passo 3

Para que o erro na aproximação seja de, no máximo, ± 0,1 .

  f x - f x a p r o x i m a d o ≤ 0,1

  1 1 + 2 x 5 - 1 + 10 x ≤ 0,1

Usando artifícios computacionais podemos resolver a inequação achar o intervalo que garante erro máximo de ± 0,1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Explique, em termos de aproximação linear ou diferencial, por que a aproximação é razoável. 1 9,98≈ 0,1002
Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. 100,5
Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. 1 4,002
Explique, em termos de aproximação linear ou diferencial, por que a aproximação é razoável. 4,02≈ 2,005
Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. e 0,1