Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 32
Considere a equação diferencial
em que e a equação característica tem raízes complexas . Substitua pleas funções
e
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
Passo 1
Para resolvermos, vamos considerar uma solução geral do tipo
e substituir em nossa EDO. Após isso, vamos manipular a expressão e eliminaremos a parte imaginária para mostrarmos que as equações dadas são soluções.
Passo 2
Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos primeiro supor que aquela nossa expressão é a solução geral. Se substituirmos na nossa EDO, teremos que
Se manipularmos, vamos chegar que
Mas temos que nossa equação geral é dada por
e que podemos escrever o termo com cosseno e seno da seguinte forma:
Logo, nossa possível solução geral é dada por
Substituindo na nossa EDO, teremos então que
e derivando, chegaremos em
Dividindo toda expressão pela exponencial, teremos que:
Como foi dito no enunciado, é uma de nossas raízes. Ou seja, é uma solução possível para a EDO, provando assim que as equações dadas são soluções.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)