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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 32

Considere a equação diferencial

a y ' ' + b y ' + c y = 0 ,

em que b 2 - 4 a c < 0 e a equação característica tem raízes complexas λ ± i μ . Substitua y pleas funções

μ t = e λ t cos ⁡ μ t e v t = e λ t sin ⁡ μ t

na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.

Passo 1

Para resolvermos, vamos considerar uma solução geral do tipo

y t = u t + i ⋅ v t

e substituir em nossa EDO. Após isso, vamos manipular a expressão e eliminaremos a parte imaginária para mostrarmos que as equações dadas são soluções.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos primeiro supor que aquela nossa expressão é a solução geral. Se substituirmos na nossa EDO, teremos que

a u t + i ⋅ v t ' ' + b u t + i ⋅ v t ' + c u t + i ⋅ v t = 0

Se manipularmos, vamos chegar que

a ⋅ u ' ' t + i ⋅ v ' ' t + b ⋅ u ' t + i ⋅ v ' t + c ⋅ u t + i ⋅ v t = 0

Mas temos que nossa equação geral é dada por

y t = e λ t cos ⁡ μ t + i ⋅ e λ t sin ⁡ μ t = e λ t ⋅ cos ⁡ μ t + i ⋅ sin ⁡ μ t

e que podemos escrever o termo com cosseno e seno da seguinte forma:

cos ⁡ μ t + i ⋅ sin ⁡ μ t = e i ⋅ μ ⋅ t

Logo, nossa possível solução geral é dada por

y t = e λ t ⋅ e i ⋅ μ ⋅ t = e λ + i ⋅ μ ⋅ t

Substituindo na nossa EDO, teremos então que

a ⋅ e λ + i ⋅ μ ⋅ t ' ' + b ⋅ e λ + i ⋅ μ ⋅ t   ' + c ⋅ e λ + i ⋅ μ ⋅ t = 0

e derivando, chegaremos em

a ⋅ λ + i ⋅ μ 2 ⋅ e λ + i ⋅ μ ⋅ t + b ⋅ λ + i ⋅ μ ⋅ e λ + i ⋅ μ ⋅ t + c ⋅ e λ + i ⋅ μ ⋅ t = 0

Dividindo toda expressão pela exponencial, teremos que:

a ⋅ λ + i ⋅ μ 2 + b ⋅ λ + i ⋅ μ + c = 0

Como foi dito no enunciado, λ + i ⋅ μ é uma de nossas raízes. Ou seja, é uma solução possível para a EDO, provando assim que as equações dadas são soluções.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a soluçãoa ) (d^2 x)/(d t^2) - 3 x = cos 3 t
Determine a soluçãoc ) (d^2 x)/(d t^2) - 2 (d x)/(d t) + x = 5 e^t
Determine a soluçãog ) overset(¨)(x) + x = 2 sin t
Determine a soluçãof ) overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) = 4
Determine a soluçãob ) overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 4 x = 2 t + 1