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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1c

Determine a solução

c ) (d^2 x)/(d t^2) - 2 (d x)/(d t) + x = 5 e^t

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x (t) = x_h + x_p

Sendo x_h uma solução homogênea e x_p a parte da solução particular.

Para achar o x_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

(d^2 x)/(d t^2) - 2 (d x)/(d t) + x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> (d x)/(d t) = lambda e^(lambda t) -> (d^2 x)/(d t^2) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

(d^2 x)/(d t^2) - 2 (d x)/(d t) + x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 2 lambda e^(lambda t) + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 2 lambda + 1) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 2 lambda + 1) = 0 -> lambda^2 - 2 lambda + 1 = 0 -> lambda = (lambda - 1)^2 -> lambda = 1

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x_h (t) pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 = lambda_2 então podemos reescrever x_h (t) como sendo:

x_h (t) = [A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 1 = lambda_2

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x_h (t) = [A e^t + B t e^t]

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

Temos que que para esse caso vamos analisar as possibilidades do tipo a_0 e^(alpha t) , para o nosso caso temos que alpha é raiz dupla, então vamos usar x_p = m t^2 e^(alpha t)

Para achar o m vamos substituir sendo x_p = m t^2 e^t = x

(d^2 (m t^2 e^t))/(d t^2) - 2 (d (m t^2 e^t))/(d t) + (m t^2 e^t) = 5 e^t

(d (m t^2 e^t))/(d t) = 2 m t e^t + m t^2 e^t = m e^t (2 t + t^2)

(d (m e^t (2 t + t^2)))/(d t) = m e^t (2 t + t^2) + (2 + 2 t) m e^t = m e^t (2 t + t^2 + 2 + 2 t)

= m e^t (t^2 + 4 t + 2)

m e^t (t^2 + 4 t + 2) - 2 [m e^t (2 t + t^2)] + m t^2 e^t = 5 e^t

m e^t (t^2 + 4 t + 2 - 4 t - 2 t^2 + t^2) = 5 e^t -> m e^t (2) = 5 e^t -> m = (5)/(2)

Ou seja:

x_p = (5)/(2) t^2 e^t

Passo 4

Substituindo:

x (t) = [A e^t + B t e^t] + (5)/(2) t^2 e^t

Resposta

x (t) = [A e^t + B t e^t] + (5)/(2) t^2 e^t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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