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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1b

Determine a solução

b ) overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 4 x = 2 t + 1

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x (t) = x_h + x_p

Sendo x_h uma solução homogênea e x_p a parte da solução particular.

Para achar o x_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 4 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 4 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 4 lambda e^(lambda t) + 4 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 4 lambda + 4) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 4 lambda + 4) = 0 -> lambda^2 + 4 lambda + 4 = 0 -> (lambda + 2)^2 -> lambda = - 2

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x_h (t) pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 = lambda_2 então podemos reescrever x_h (t) como sendo:

x_h (t) = [A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 2 = lambda_2

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x_h (t) = [A e^(- 2 t) + B t e^(- 2 t)]

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

Temos um caso em que c != 0 e x_p = P_l (t) assim vamos escrever um P_l (t) arbitrário com mesmo grau:

P_l (t) = n + m t

Agora substituímos como se P_l (t) = x

overset(¨)((n + m t)) + 4 overset(˙)((n + m t)) + 4 (n + m t) = 2 t + 1

overset(¨)((n + m t)) = 0

overset(˙)((n + m t)) = m

overset(¨)((n + m t)) + 4 overset(˙)((n + m t)) + 4 (n + m t) = 2 t + 1 -> 0 + 4 m + 4 n + 4 m t = 2 t + 1

4 n + 4 m = 1 e 4 m t = 2 t -> m = (1)/(2) -> 4 n + 4 xx (1)/(2) = 1 -> 4 n = 1 - 2 -> n = - (1)/(4)

P_l (t) = - (1)/(4) + (1)/(2) t

Passo 4

Substituindo:

x (t) = x_h + x_p -> x (t) = A e^(- 2 t) + B t e^(- 2 t) - (1)/(4) + (1)/(2) t

Resposta

x (t) = A e^(- 2 t) + B t e^(- 2 t) - (1)/(4) + (1)/(2) t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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