Prove a generalização do teorema 7.4.1 , como expressa na frase que contém a Eq. (8), para um valor arbitrário do inteiro  k .

Passo 1

Para comprovar: Se as funções vetoriais x ( 1 ) , x ( 2 ) , … , x ( n ) são soluções do sistema x   ' =   P ( t ) x , a combinação linear c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) + … + c n x ( n ) também é uma solução para quaisquer constantes c 1 ,   c 2 ,   … , c n .

Prova: Suponha que o vetor das funções x ( 1 ) , x ( 2 ) , … , x ( n - 1 ) são soluções dos sistemas x   ' =   P ( t ) x .

Devemos pensar em cada vetor individualmente:

  x 1 ' =   P t x ( 1 )

x 2 ' =   P t x ( 2 )

x n ' =   P t x ( n )

Inicialmente, nós assumimos que os valores de c são constantes. Substituindo e somando cada vetor individual:

( c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) + … + c k x k ) ' = c 1 x ( 1 ) ' + c 2 x ( 2 ) ' + … + c k x ( k ) '

Como são somatórios de x   ' =   P ( t ) x , teremos:

( c 1 P ( t ) x ( 1 ) + c 2 P ( t ) x 2 + … + c k P t x k ) = P ( t ) ( c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) + … + c k x ( k ) )

Assim, notamos que c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) + … + c k x k é realmente solução do sistema x   ' =   P ( t ) x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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