Considere a função f definida no problema 21, e seja e_m = f(x) - s_m(x) .

f(x) = (x^2 / 2), -2 ≤ x < 2

f(x + 4) = f(x)

(a) Faça o gráfico de | e_m(x) | em função de x para 0 ≤ x ≤ 2 para diversos valores de m .

(b) Encontre o menor valor de m para o qual e_m(x) ≤ 0,01 para todo x .

Passo 1

Antes de começar, vamos retomar a série de Fourier obtida para o problema 21:

s m x = 2 3 + 8 π 2 ∑ n = 1 m - 1 n n 2 cos ⁡ n π x 2

Em poucas palavras, o exercício nos pede para verificar o quanto a série de Fourier se aproxima da função original e, para isso, iremos calcular a diferença entre os valores de f ( x ) e s m ( x ) . Conforme vamos aumentando o número de termos ( m ) da série o esperado é que essa diferença diminua. Por essa razão, o item (b) nos pede para continuar incrementando o valor de m até que seja atingida uma diferença de e m ( x ) ≤ 0,01 . Tudo bem até aqui? Vamos lá então.

Passo 2

Para resolver os dois itens precisamos do auxílio de uma ferramenta gráfica, como o Excel. O primeiro passo é fazer uma tabela de f ( x ) para vários valores no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 . Para este exemplo, usar valores espaçados de 0,1 é o suficiente, ou seja, plotar valores para 0, 0.1, 0.2,..., 1.8, 1.9 e 2. Em seguida, devemos calcular os coeficientes da série de Fourier a n e b n para n variando de 1 até um valor de m arbitrário. Para o nosso caso, m = 100 é um valor razoável.

Depois de calcular os coeficientes, iremos aplicar a função s m ( x ) para os mesmos pontos em que aplicamos f ( x ) . O passo seguinte, é fazer a diferença f x - s m ( x ) para todos os pontos. A função e m ( x ) é dada pela soma de todas as diferenças no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 .

Passo 3

O gráfico de e m ( x ) em função de m é apresentado a seguir:

Assim como o esperado, ao aumentar o número de termos da série a diferença e m x = f x - s m ( x ) → 0 , ou seja, para m → ∞ , a série de Fourier representa perfeitamente a função f ( x ) .

O item (b) nos pede para encontrar m em que e m ( x ) ≤ 0,01 . Pela tabela de valores de e m :

Podemos ver que para m em torno de 90, o valor de e m ( x ) ≤ 0,01 é atingido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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