Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.1 - Ex. 11
Considere a equação geral linear homogênea de segunda ordem
Procuramos um fator integrante tal que, ao multiplicar a Eq por , a equação resultante pode ser escrita na forma
Igualando os coeficientes de nas Eqs e , mostre que tem que ser uma solução de
Resolva a Eq , mostrando, assim, que
Compare esse resultado com o do Problema na Seção
Passo 1
Da equação
Podemos tirar que:
Então se aplicarmos esse resultado na expressão :
Nós teremos:
Aplicando a derivada dentro dos colchetes (utilizando a regra da cadeia):
Dividindo tudo por teremos:
Dá para cortar um termo pois tem esse termo nos dois lados.
E com isso cortar um termo , nos dando:
Então rearrumando os termos podemos dizer que:
Que é o que queremos demonstrar na letra .
Passo 2
E dessa equação podemos tratar ela como uma EDO de primeira ordem separável. (Por limpeza vou tirar o termo por acho que já deu para entender que todos os termos estão em função de né hahah)
Então juntando os termos de num mesmo lado da equação nós teremos:
De forma que temos:
Passando da parcela a esquerda para a direita nós teremos:
Integrando nos dois lados:
Esqueça aqui as constantes de uma integral indefinida. Pois elas serão cortadas quando forem jogadas na equação diferencial.
Fazendo exponencial dos dois lados:
E como , então:
E , então:
Essa mudança de domínio de para é só uma formalidade boba para você não fazer cagada na hora da integral.