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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.5 - Ex. 1b

Considere a equação de Laplace uxx + uyy = 0 no paralelogramo cujos vértices são (0, 0), (2, 0), (3, 2) e (1, 2). Suponha que a condição de contorno no lado y = 2 é u(x, 2) = f(x) para 1 ≤ x ≤ 3 e que, nos outros três lados, u = 0 (veja a Figura 11.5.1).

Sejam ξ = x – 1⁄2 y, η = y. Mostre que o paralelogramo dado no plano xy é transformado no quadrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ η ≤ 2 no plano ξη. Mostre que a equação diferencial é transformada em

Como as condições de contorno são transformadas?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

ξ = x - 1 2 y

η = y

Para a função, temos que as condições de contorno são homogêneas.

0 ≤ ξ ≤ 2

0 ≤ η ≤ 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

y = 2 x     ∴       ξ = 0

y = 2 x - 2       ∴       ξ = 2

u ξ = u x

u η = 1 2   u x + u y

u ξ , 2 = f ξ + 1

u 2 , η = 0

Resposta

u ξ , 2 = f ξ + 1

u 2 , η = 0

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