Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 13a
13. A. Encontre a solução da equação de Laplace no retângulo , , que satisfaz as condições de contorno
Note que esse não é um problema de Dirichlet nem de Neumann, mas um problema misto no qual é dada em parte da fronteira e sua derivada normal é dada no resto.
Sugestão: Alguma hora vai ser necessário expandir f(y) em uma série envolvendo , . . . (veja o Problema 39 da Seção 10.4).
Passo 1
SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Bom, você já deve estar cansado de fazer isso né? Vamos lá, procuramos uma solução do tipo . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:
Agora nós passamos tudo que tem para um lado e o que tem para o outro:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser iguais a uma constante. Aqui, diferente do que fizemos nos problemas de calor e de onda, colocamos , não porque o sinal dessa constante vai depender do problema. Frescura.
Separando em duas equações, temos:
Aplicando a separação de variáveis para as condições do problema:
Sempre deixamos por último a condição que é uma função, nesse caso, .
Então, temos o seguinte:
Passo 2
RESOLVER O PROBLEMA QUE TEM DUAS CONDIÇÕES (DE CONTORNO)
Como a função é a que possui duas condições de contorno, vamos resolver primeiro o problema em , temos:
Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.
Isso nos diz que temos a seguinte equação característica
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
E a nossa solução vai ser
Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: , , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim vamos ter
Assim vamos ter, pela primeira equação, como
Assim temos
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O cosseno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de somados com . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Passo 3
TENDO OS VALORES DE , RESOLVER A OUTRA EDO:
Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:
A equação característica dessa EDO é a seguinte:
Agora temos uma novidade: já vimos que , não é? Quando encontramos seu valor no passo anterior. Então, as soluções dessa EDO são do tipo:
Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:
Onde aqui é a raiz positiva, ou seja, . Então, as soluções da EDO em são:
Aplicando a condição :
Os valores de e nós sabemos olhando para suas definições, aquelas funções exponenciais. Porque diabos então não escrevemos direto como exponenciais? Porque isso vai simplificar um pouco a resposta depois.
Chegamos então a:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 4
ESCREVER COMO SÉRIE E ACHAR OS COEFICIENTES DA SÉRIE
Como as combinações lineares de também são soluções do problema, temos que:
Agora vamos usar a condição que faltou: .
Repare que aqui temos uma série de Fourier de senos onde os termos pares são nulos:
Onde os ’s impares são obtidos através dos coeficientes da série de Fourier...
Ou seja…
Dessa forma, encontramos os coeficientes da série. Então, substituímos em:
Resposta
Onde