Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 29
Considere a equação
Lembre-se de que e são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma , em que é uma função a ser determinada.
(a) Substitua na Eq. (i) e mostre que deve satisfazer .
(b) Seja e mostre que tem que satisfazer . Resolva esta equação 30. 31. 32. 33. 34. para
(c) Integre para encontrar e depois mostre que
A primeira parcela é a solução particular desejada da equação não homogênea. Note que é um produto de e de .
Passo 1
(a ) O problema pede para substituir valores na equação dada para satisfazer as condições.Substitua na Eq (i) e mostre que deve satisfazer.
Mostramos e as derivadas.Simplificando:Agora, substituindo aqueles na equação original:(por uma questão de conveniência, e assim por diante)
Multiplicando ambos os lados por Simplificando:Assim, mostramos que a equação foi satisfeita.
Passo 2
(b) Seja :Mostre que satisfaz Resolva isso para
Se então , assim :
.
Adicionando para ambos os ladosAssim como equações da seção 1.2 e 1.3:
Portanto, temos nossa solução assim:Onde e .Coloque isso na fórmula para obter:Onde é uma constante (NÃO).
Passo 3
(c )Integrar para encontrar e mostrar que:
Portanto, integramos :Como w tem uma constante mais uma função, podemos integrá-los separadamente:Teremos:
Obtemos:Assim:Agora precisamos mostrar que:Então:Multiplicando que nos dá:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)