Considere a equação y ' ' - 3 y ' + 4 y = 2 e - t Lembre-se de que y 1 t = e - t e y 2 t = e 4 t são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma Y ( t )=υ ( t ) y 1 t=υ t e - t , em que υ ( t ) é uma função a ser determinada. (a) Substitua Y ( t ) ,Y ' ( t )eY ″ ( t ) na Eq. (i) e mostre que υ ( t ) deve satisfazer υ ″–5 υ '=2 . (b) Seja w ( t )=υ ' ( t ) e mostre que w ( t ) tem que satisfazer w '–5 w=2 . Resolva esta equação 30. 31. 32. 33. 34. para w ( t ) . (c) Integre w ( t ) para encontrar υ ( t ) e depois mostre que Y t = - 2 5 t e - t + 1 5 c 1 e 4 t + c 2 e - t A primeira parcela é a solução particular desejada da equação não homogênea. Note que é um produto de t e de e - t .

Enunciado

(a ) O problema pede para substituir valores na equação dada para satisfazer as condições.Substitua na Eq (i) e mostre que deve satisfazer.

Mostramos e as derivadas.Simplificando:Agora, substituindo aqueles na equação original:(por uma questão de conveniência, e assim por diante)

Multiplicando ambos os lados por Simplificando:Assim, mostramos que a equação foi satisfeita.

(b) Seja :Mostre que satisfaz Resolva isso para

Se então , assim :

Adicionando para ambos os ladosAssim como equações da seção 1.2 e 1.3:

Portanto, temos nossa solução assim:Onde e .Coloque isso na fórmula para obter:Onde é uma constante (NÃO).

(c )Integrar para encontrar e mostrar que:

Portanto, integramos :Como w tem uma constante mais uma função, podemos integrá-los separadamente:Teremos:

Obtemos:Assim:Agora precisamos mostrar que:Então:Multiplicando que nos dá:

Ei, a resposta está no passo a passo :)