O método de expansão em autofunção é usado, muitas vezesm oara oriblemas não homogêneos relacionados com a equação de onda ou sua generalização. Considere o problema r x u t t = p x u x x - q x u + F x , ti u x 0 , t - h 1 u 0 , t = 0 ,u x 1 , t + h 2 u 1 , t = 0i i u x , 0 = f x ,u t x , 0 = g x ( i i i ) Esse problema pode aparecer em coneção com generalização de equações de telégrafo (Problema 16 da seção 11.1) ou vibrações longitudinais de uma barra elástica (Problema 25 de Seção 11.1).a) Faça u x , t = X x T ( t ) na equação homogênea correspondente à Eq. ( i ) e mostre que X ( x ) satisfaz as equações ( 28 ) e (29) do texto. Denote por λ ne ϕ n x os autovalores e autofunções normalizadas desse problema.b) Suponha que ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x e mostre que b n ( t ) tem que satisfazer o PVI b n ' ' t + λ n b n t = γ n t ,b n 0 = α n ,b n ' 0 = β n onde α n ,β n eγ n são os coeficientes das expansões de f x ,g x e F x , t r x respectivamente, em termos das autofunções ϕ 1 x ,ϕ 2 x ,ϕ 3 x … . ϕ n x … . .

Enunciado

(a) Bom, para começar, façamos

Substituindo na forma homogêneas

Agora dividimos ambos os lados da equação resultante por para obter

Isso nos da

Como as condições de contorno são validas para maior que zero, nós ainda teremos

b) Façamos com que e denote o autovalor e autofunção do PVC da letra (a).

A solução da equação diferencial tem forma

Substittuindo em

Rearrumando os termos temos:

Agora expandimos o lado direito em termos da autofunção. Isso fica assim

onde

Combiando os resultados nós temos

Isso nos dá que

Para resolver a EDO nós precisamos de condições iniciais e

Perceba que

Baseado nas condições inciais dadas

Logo e e o coeficiente de expansão pra e em termos da autofunção,

Ei, a resposta está no passo a passo :)