Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 26

O método de expansão em autofunção é usado, muitas vezesm oara oriblemas não homogêneos relacionados com a equação de onda ou sua generalização. Considere o problema

r x u t t = p x u x x - q x u + F x , t           i

u x 0 , t - h 1 u 0 , t = 0 ,   u x 1 , t + h 2 u 1 , t = 0           i i

u x , 0 = f x ,   u t x , 0 = g x             ( i i i )

Esse problema pode aparecer em coneção com generalização de equações de telégrafo (Problema 16 da seção 11.1) ou vibrações longitudinais de uma barra elástica (Problema 25 de Seção 11.1).

a) Faça u x , t = X x T ( t ) na equação homogênea correspondente à Eq. ( i ) e mostre que X ( x ) satisfaz as equações ( 28 ) e (29) do texto. Denote por λ n   e     ϕ n x os autovalores e autofunções normalizadas desse problema.

b) Suponha que

∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x

e mostre que b n ( t ) tem que satisfazer o PVI

b n ' ' t + λ n b n t = γ n t ,   b n 0 = α n ,   b n ' 0 = β n

onde α n ,   β n e   γ n são os coeficientes das expansões de f x ,   g x e F x , t r x respectivamente, em termos das autofunções ϕ 1 x ,   ϕ 2 x ,   ϕ 3 x … . ϕ n x … . .

Passo 1

(a) Bom, para começar, façamos u x , t = X x T t .

Substituindo na forma homogêneas ( i )

r x X T ' ' = p x X ' ' T - q x X T

Agora dividimos ambos os lados da equação resultante por X T para obter

T ' ' T = p x X ' ' r x X - q x r ( x ) = - λ

Isso nos da

- p x X ' ' + q x X = λ r x X

Como as condições de contorno ( i i ) são validas para t   maior que zero, nós ainda teremos

X ' 0 - h 1 X 0 = 0 ,   X ' 1 + h 2 X 1 = 0

Passo 2

b) Façamos com que λ n e ϕ n ( x ) denote o autovalor e autofunção do PVC da letra (a).

A solução da equação diferencial tem forma

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n ( x )

Substittuindo em ( i )

r ( x ) ∑ n = 1 ∞ b n ' ' t ϕ n ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n t p x ϕ n ' ' - q x ϕ n + F x , t

= ∑ n = 1 ∞ b n t - λ n r x ϕ n + F x , t

Rearrumando os termos temos:

∑ n = 1 ∞ b n ' ' t + λ n b n t ϕ n = F x , t r x

Passo 3

Agora expandimos o lado direito em termos da autofunção. Isso fica assim

F x , t r x = ∑ n = 1 ∞ γ n   t ϕ n x

onde

γ n t = ∫ 0 1 r x F x , t r x   ϕ n x   d x

= ∫ 0 1 F x , t ϕ n x d x ,   n = 1 ,   2 …

Combiando os resultados nós temos

∑ n = 1 ∞ b n ' ' t + λ n b n t - γ n t ϕ n = 0

Passo 4

Isso nos dá que

b n ' ' t + λ n b n t = γ n t ,   n = 1 ,   2 ,   …

Para resolver a EDO nós precisamos de condições iniciais b n ( 0 ) e b n ' 0

Perceba que

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n 0 ϕ x e   u t x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n ' 0 ϕ n x

Baseado nas condições inciais dadas

f x = ∑ n = 1 ∞ b n 0 ϕ n ( x )   e   g x = ∑ n = 1 ∞ b n ' 0 ϕ n x

Logo b n 0 = α n e b n ' 0 = β n e o coeficiente de expansão pra f ( x ) e g ( x ) em termos da autofunção, ϕ n ( x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 19 a 22, use expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de valores de contorno dado. u t = u x x - x , u 0 ,t = 0 , u x 1 ,t = 0 ,u x ,0 = sin ⁡ π x / 2 V
Em cada um dos Problemas 24 e 25, use o método indicado no Problema 23 para resolver o problema de valores de contorno dado.24. u t = u x x - 2 u 0 ,t = 1 , u 1 ,t = 0 u x ,0 = x 2 - 2 x + 2
Nos problemas 31 a 34, resolva o problema de valor de contorno dado determinando a função de Green apropriada a expanssando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do probl
Em cada problema de 19 a 22, use a expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de contorno dado.21. u t = u x x + 1 - 1 - 2 x ,u 0 , t = 0 ,u 1 , t = 0 ,u x ,0 = 0 ; Veja Prolema 5 de
Nos problemas 31 a 34, resolva o problema de valor de contorno dado determinando a função de Green apropriada a expanssando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do probl