Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 36
Considere o problema de valor de contorno
onde é a variável independente, é um ponto definido no intervalo e é a função de Dirac (veja a seção 6.5). Mostre que a solução desse problema é a função de Freen obtida no Problema 28.
Ao resolver o Problema dado, note que nos intervalos e . Note ainda que dá um slato de tamanho 1 quando passa pelo valor .
Esse problema ilustra uma propriedade geral, a saber, que a função de freen pode ser identificada como a resposta no ponto de um impulso unitário no ponto x. Um termo mais geral em pode ser visto como uma distribuição contínua de impulso de tamanho no ponto x. A solução do problema de valores de contorno não-homogêneos como uma integral envolvendo a função de Green pode ser interpretada, então, como a superposição do conjunto de impulso representados pelo termo não-homogêneo
Passo 1
Primeiramente note que para No intervalo a solução da EDO é
Tendo que nós temos que No intervalo , a solução é
Impondo a condição , temos necessariamente que . Assumindo a continuidade da solução em
Que nos dá
Passo 2
Em seguida, integramos ambos os lados da EDO num intervalo infinitesimal contendo
Isso nos da que
Logo,
Passo 3
Resolvendo para os dois coeficientes, nós obtemos e Então, a solução do problema de valor de contorno é dado por
O que é idêntico a função de Green do problema 28.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)