Enunciado

Considere o problema de valor de contorno

- d 2 y d s 2 = δ s - x ,   y 0 = 0 ,   y 1 = 0 .

onde s é a variável independente, s = x é um ponto definido no intervalo 0 < s < 1 e δ é a função δ de Dirac (veja a seção 6.5). Mostre que a solução desse problema é a função de Freen G ( x , s ) obtida no Problema 28.

Ao resolver o Problema dado, note que δ s - x = 0 nos intervalos 0 ≤ s < x e x < s ≤ 1 . Note ainda que - d y d s dá um slato de tamanho 1 quando s passa pelo valor x .

Esse problema ilustra uma propriedade geral, a saber, que a função de freen pode ser identificada como a resposta no ponto s de um impulso unitário no ponto x. Um termo mais geral f em 0 ≤ x ≤ 1 pode ser visto como uma distribuição contínua de impulso de tamanho f x no ponto x. A solução do problema de valores de contorno não-homogêneos como uma integral envolvendo a função de Green pode ser interpretada, então, como a superposição do conjunto de impulso representados pelo termo não-homogêneo f x .

Passo 1

Primeiramente note que – d 2 y d s 2 = 0 para s ≠ x . No intervalo 0 < s < x , a solução da EDO é y 1 s = c 1 + c 2 s

Tendo que y 0 = 0 ,   nós temos que y 1 s = c 2 s . No intervalo x < s < 1 , a solução é y 2 s = d 1 + d 2 s .

Impondo a condição y 1 = 0 , temos necessariamente que y 2 s = d 1 ( 1 - s ) . Assumindo a continuidade da solução em s = x

c 2 x = d 1 1 - x

Que nos dá c 2 = d 1 1 - x x

Passo 2

Em seguida, integramos ambos os lados da EDO num intervalo infinitesimal contendo s = x

- ∫ x - x + d 2 y d s 2   d s = ∫ x - x + δ s - x d s   = 1

Isso nos da que

y ' x - - y ' x + = 1

Logo, c 2 - - d 1 = 1

Passo 3

Resolvendo para os dois coeficientes, nós obtemos c 2 = 1 - x e d 1 = x .   Então, a solução do problema de valor de contorno é dado por

y s = s 1 - x ,   0 ≤ s ≤ x x 1 - s ,   x ≤ s ≤ 1

O que é idêntico a função de Green do problema 28.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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