Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.7 - Ex. 23

Considere a equação de onda modificada

a - 2 t n + γ 2 y = u x x ,   0 < x < L ,   t > 0   i

com codições iniciais

u 0 . t = 0 ,   u L ,   t = 0 ,   t > 0   i i

E condições inciais

u x , 0 = f x ,   u 1 x , 0 = 0 ,   0 < x < L   i i i

a) Mostre que a solução pode ser escrita na forma

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ n 2 π 2 L 2 + γ 2 a t s e n n π x L

onde

c n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x

b) Usando identidades trigonométricas, reescreva a solução como

u x , t = 1 2 ∑ n = t ∞ c n s e n n π L x + a n t + s e n n π L x - a n t

Determina a n , a velocidade de propagação da onda.

c) Note que a n ,   encontrada no intem (b) depende de n . Isso signific que os componentes dos diversos comprimentos de onda (ou frequência) são propagados em velocidades diferente, o que resulta em uma distorção de forma original da onda ao longo do tempo. Esse fenômeno é chamado de dispersão. Encontre a condição sob a qual a n é independente de n, isto é, quando não há dispersão.

Passo 1

Assumindo que nós podemos derivar termo por termo

∂ u ∂ t = - π a   ∑ n = 1 ∞ c n n L s e n n π x L s e n n π a t L

e

∂ u ∂ x = π   ∑ n = 1 ∞ c n n L c o s n π x L c o s n π a t L

Passo 2

Formalmente

∂ u ∂ t 2 = π 2 a 2   ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 s e n 2 n π x L s e n 2 n π a t L + π 2 a 2   ∑ n ≠ m ∞ F n m x , t

e

∂ u ∂ x 2 = π 2   ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 cos 2 ⁡ n π x L cos 2 ⁡ n π a t L + π 2 ∑ n ≠ m ∞ G n m x , t

Onde F n m ( x , t ) e G n m ( x , t ) contem produtos dos modos naturais e seus derivadas. Baseada na ortogonalidade dos modos naturais

∫ 0 L ∂ u ∂ t 2 d x = π 2 a 2 L 2     ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 s e n 2 n π a t L

e

∫ 0 L ∂ u ∂ x 2 d x = π 2 L 2     ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 cos 2 ⁡ n π a t L

Passo 3

Lembre que a 2 = T ρ . Isso nos da que

∫ 0 L ρ ∂ u ∂ t 2 + T ∂ u ∂ x 2 d x = π 2 T L 2     ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 s e n 2 n π a t L + π 2 T L 2 ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 cos 2 ⁡ n π a t L

Com isso

∫ 0 L 1 2 ρ ∂ u ∂ t 2 + 1 2 T ∂ u ∂ x 2 d x = π 2 T 4 L     ∑ n = 1 ∞ n 2 c n 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a equação de onda modificada com as condições de contornoe condições iniciaisConsidere a situação com a² = 1, L = 10 eDetermine os coeficientes cn
Considere a equação de onda modificada com as condições de contornoe condições iniciaisConsidere a situação com a² = 1, L = 10 eSeja γ = 1/4. Faça o gráfico de u(x, t) em função de x para t = 20, 40,
Considere a equação de onda modificada com as condições de contornoe condições iniciaisConsidere a situação com a² = 1, L = 10 eFaça o gráfico de escolhendo N suficientemente grande de modo que o gráf
A energia total E(t) da corda vibrante é dada em função do tempo por o primeiro termo é a energia cinética devida ao movimento da corda, e o segundo é a energia potencial criada pelo deslocamento da c
Considere a equação de onda modificada com as condições de contornoe condições iniciaisConsidere a situação com a² = 1, L = 10 eSeja γ = 1/8. Faça o gráfico de u(x, t) em função de x para t = 20, 40,