Exercícios de Equação da Onda - Lista de Exercícios Resolvida

Considerando e como sendo constantes positivas e como sendo uma função contínua no intervalo , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

Considere o problema de onda

Encontre a expressão do deslocamento vertical usando o método da separação de variáveis. Justifique sua resposta. Considere .

Considere o problema de onda

Encontre a expressão do deslocamento vertical usando o método da separação de variáveis. Justifique sua resposta. Considere . (Sugestão: use a questão (2) com )

Considerando e como sendo constantes positivas e como sendo uma função contínua no intervalo , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

Mostre que o método de separação de variáveis se aplica para a equação

substituindo-a por um par de EDOs no caso de soluções de variáveis separadas.

Considere a equação da onda

com as condições de contorno

( nula em e a derivada nula em , para todo tempo ).

Tomando

mostre que deve satisfazer o problema de autovalores (autofunções)

Resolva o problema de autovalores e autofunções

(Encontre todos os autovalores e autofunções associadas.)

Resolva o PVIF (problema de valor inicial e de fronteira)

pelo método de separação de variáveis.

Resolva o problema:

Escolha uma opção:

a)

b)

c)

d)

e)

Considere o problema da corda vibrante dado por , , com as condições de contorno e as condições iniciais e

Nessas condições, o gráfico que melhor representa a solução no instante é

Usando o método de separação de variáveis, resolva a equação da onda abaixo:

Resolva o problema de oscilação numa corda infinita (método de D’Alembert).

Use o método de D’Alembert para encontrar a solução do problema:

Dado o seguinte problema de oscilação numa corda infinita:

Qual a forma da corda e sua velocidade de deformação quando Qual é a velocidade para a qual se deslocam as deformações da corda?

Use separação de variáveis para encontrar a solução da seguinte equação da Onda.

Questão 3: Determine a solução do problema

Questão 4:

Vamos considerar a corda de um violão tocada puxando-a com perfil inicial e soltando-a sem velocidade inicial . O movimento ideal da corda elástica sem amortecimento é dado pela solução da equação da onda unidimensional

Com as condições de contorno das extremidades . Se

A solução do problema acima é dada pela série:

A série converge? Para qualquer e ? Explique e justifique.

Mostre como se chega à solução do seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis i.e. assumindo e justificando detalhadamente TODA a análise:

Determine uma sequência de soluções

linearmente independentes, da equação da onda

satisfazendo a condição de contorno

e a condição inicial

().

Use o Método de D’Alembert para encontrar a solução do problema.

Encontrar a solução da equação das ondas:

Escolha uma opção:

a)

b)

c)

d)

Considerando e como sendo constantes positivas e como sendo uma função contínua no intervalo , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial

Questão 3: Encontre as soluções fundamentais (auto funções) para o seguinte problema (corda vibrante com extremidades livres):

Resolva o problema:

Questão 3: Resolva o problema:

Se a função é dada por

Resolva o problema

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

a)

Resolva o problema

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

c) .

Resolva o problema

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

b)

Resolva o problema

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

d)

Resolva o problema

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

e)

Resolva a equação da onda

Dicas: A solução geral do problema é

Os são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para . Os são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para , e os satisfazem . Também .

Dada a seguinte equação do da onda:

1. O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação da onda é . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde é a constante de separação. Analise os casos , e .
2. Substituindo os valores , e escolha a extensão par ou ímpar de período que resolve o problema em (a) encontrando a solução . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.

Determine a solução do problema

Neste exercício vamos explicar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções , de classe , tais que , onde . Este método foi descrito por Jean le Ron d’Alembert em torno de 1750.

Mostre que a mudança de coordenadas e permite escrever a equação da onda na forma .

Neste exercício vamos explicar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções , de classe , tais que , onde . Este método foi descrito por Jean le Ron d’Alembert em torno de 1750.

Determine todas as soluções de , concluindo que as soluções da equação original são da forma , onde e são funções reais duas vezes deriváveis.

Verifique que para qualquer valor de , a função satisfaz a equação da onda unidimensional .

Utilize a identidade para escrever como superposição de ondas viajando à esquerda e à direita com velocidade .

Qual é a relação da fórmula que você obteve com a fórmula na solução geral?

Determina as soluções de

Nos casos seguintes:

Determina as soluções de

Nos casos seguintes:

Determina as soluções de

Nos casos seguintes:

Determina as soluções de

Nos casos seguintes:

Determina as soluções de

Nos casos seguintes: