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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.7 - Ex. 22

A energia total E(t) da corda vibrante é dada em função do tempo por

o primeiro termo é a energia cinética devida ao movimento da corda, e o segundo é a energia potencial criada pelo deslocamento da corda de sua posição de equilíbrio. Para o deslocamento u(x, t) dado pela Eq. (20) – ou seja, para a solução do problema da corda com velocidade inicial nula – mostre que

Note que a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (ii) não depende de t. Logo, a energia total E é constante e, portanto, é conservada durante o movimento da corda..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

∂ u ∂ t =   - π a   ∑ c n n L sin ⁡ n π x L sin ⁡ n π a t L

∂ u ∂ x =   π   ∑ c n n L cos ⁡ n π x L cos ⁡ n π a t L

∂ u ∂ t 2 =   π ² a ²   ∑ c n n L 2 sin ² ⁡ n π x L sin ² ⁡ n π a t L + π ² a ²   ∑ F n m ( x , t )

∂ u ∂ x 2 =   π ²   ∑ c n n L 2 cos ² ⁡ n π x L cos ² ⁡ n π a t L + π ²   ∑ G n m ( x , t )

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

a ² = T ρ

E t = ∫ 1 2 ρ ∂ u ∂ t 2 + 1 2 T   ∂ u ∂ x 2 d x

E t = π 2 T 4 L ∑ n 2 c n 2

Resposta

E t = π 2 T 4 L ∑ n 2 c n 2

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