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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 16b

Considere o fluxo de água em um meio poroso, como areia, em um aquífero. O fluxo é bombeado por uma cabeça hidráulica, uma medida da energia potencial da água acima do aquífero. Seja R : 0

Se a água não puder fluir através dos lados e fundo de R, então as condições de contorno serão

Finalmente, suponha que a condição de contorno em z = b é

Sejam a = 1000, b = 500 e α = 0,1. Desenhe curvas de nível da solução em R, ou seja, desenhe algumas curvas de nível de u(x, z).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

u x ( 0 , z ) = 0 u x a , z = 0 u z x , 0 = 0 u x , z = b = b + a x

u x , z = X x Z z

X ' ' X = - Z ' ' Z = λ

Z ' ' + λ Z = 0

X ' ' - λ X = 0

u 0 x , z = 1 = c 0

u n x , y = c 0 2 + ∑ c n cosh ⁡ n π z a cos ⁡ n π x a

u n x , y = b + α a 2 - 4 α a π 2 ∑ cos ⁡ 2 n - 1 π x a cosh ⁡ 2 n - 1 π z a 2 n - 1 2 cosh ⁡ 2 n - 1 π b a

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Resposta

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8. A. Encontre a solução u x ,y da equação de Laplace na faixa semi-infinita 0xa , y0 , que satisfaz as condições de contorno u 0 ,y = 0 ,u a ,y = 0 ,y0 u x ,0 = f x ,0 ≤ x ≤ a E a condição adicional
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