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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 9

9. Mostre que a Eq. 23 só tem soluções periódicas u x ,   y se λ for real. Sugestão: Seja λ = - μ 2 , em que μ = v + i σ , com v e σ reais.

Equação 23: Θ ' ' + λ Θ = 0

Passo 1

Para provar isso, vamos pegar a equação de Laplace no disco e resolver até chegar nessa EDO normalmente. A Equação de Laplace em coordenadas polares:

r 2 ∂ 2 u ∂ r 2 + r ∂ u ∂ r + ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0

Fazendo a separação de variáveis:

u r , θ = R r Θ θ

Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:

r 2 R ' ' Θ + r R ' Θ + R Θ ' ' = 0

Passo 2

Agrupando termos:

Θ r 2 R ' ' + r R ' = - R Θ ' '

E isolando:

r 2 R ' ' + r R ' R = - Θ ' ' Θ

Igualando ambas as expressões a uma constante λ arbitrária:

r 2 R ' ' + r R ' R = λ → r 2 R ' ' + r R ' - λ R = 0

- Θ ' ' Θ = λ → Θ ' ' + λ Θ = 0

Passo 3

Beleza! Chegamos a EDO da equação 23. Agora vejamos o que acontece se λ for imaginário tal que:

λ = - μ 2

Temos que a nossa equação característica fica:

k 2 - μ 2 = 0 → k = ± μ

Tendo μ = v + i σ ...

k 1 = v + i σ           e           k 2 = - v - i σ

Que resulta em:

Θ θ = a 1 e v + i σ θ + a 2 e - v - i σ θ →

Veja que o resultado envolve dois números complexos que não possuem conjugados! Logo a solução é complexa e portanto aperiódica ;)

Resposta

Questão de demonstração.

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8. A. Encontre a solução u x ,y da equação de Laplace na faixa semi-infinita 0xa , y0 , que satisfaz as condições de contorno u 0 ,y = 0 ,u a ,y = 0 ,y0 u x ,0 = f x ,0 ≤ x ≤ a E a condição adicional
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Considere o fluxo de água em um meio poroso, como areia, em um aquífero. O fluxo é bombeado por uma cabeça hidráulica, uma medida da energia potencial da água acima do aquífero. Seja R : 0 Se a água n
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