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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 8b

8. A. Encontre a solução u x ,   y da equação de Laplace na faixa semi-infinita 0 < x < a , y > 0 , que satisfaz as condições de contorno

u 0 ,   y = 0 ,       u a ,   y = 0 ,           y > 0

u x ,   0 = f x ,           0 ≤ x ≤ a

E a condição adicional de que u x ,   y → 0 quando y → ∞

B. Encontre a solução se f x = x a - x .

Passo 1

L e t r a   B :

No exercício anterior determinamos a solução da equação de Laplace na região infinita o qual encontramos a seguinte solução:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a e - n π y / a  

Onde o b n são os coeficientes dessa função dados por...

b n = 2 a ∫ 0 a f x s e n   n π x a d x

Veja então que encontrar a solução onde...

f x = x a - x

Nada mais é do que resolver essa integração aí obtendo os valores de b k . Vamos nessa?

Passo 2

Essa integral pode ser resolvida por partes:

∫     x a - x sen ⁡ n π x a d x

Onde x a - x = x a - x 2 será a nossa função u enquanto que o d v será o seno:

u = x a - x               e               d v = sin ⁡ n π x a d x

d u = a - 2 x   d x               e               v = - cos ⁡ n π x a n π a

∫     x a - x sen ⁡ n π x a d x = - x a - x a cos ⁡ n π x a n π - ∫     - cos ⁡ n π x a n π a a - 2 x   d x   →

∫     x a - x sen ⁡ n π x a d x = - x a - x a cos ⁡ n π x a n π + a n π ∫     a - 2 x cos ⁡ n π x a   d x  

Usando uma nova integração por partes...

u = a - 2 x               e               d v = cos ⁡ n π x a d x

d u = - 2   d x               e               v = sin ⁡ n π x a n π a

Então...

∫     a - 2 x cos ⁡ n π x a   d x = a - 2 x a sin ⁡ n π x a n π - ∫     sin ⁡ n π x a n π a - 2   d x   →

∫     a - 2 x cos ⁡ n π x a   d x = a - 2 x a sin ⁡ n π x a n π + 2 a n π ∫     sin ⁡ n π x a d x   →

∫     a - 2 x cos ⁡ n π x a   d x = a - 2 x a sin ⁡ n π x a n π - 2 a 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π x a

Finalmente a integral que queremos pra se ter b n então é...

∫     x a - x sen ⁡ n π x a d x = - x a - x a cos ⁡ n π x a n π + a n π ∫     a - 2 x cos ⁡ n π x a   d x  

∫     x a - x sen ⁡ n π x a d x = - x a - x a cos ⁡ n π x a n π + a n π a - 2 x a sin ⁡ n π x a n π - 2 a 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π x a  

∫     x a - x sen ⁡ n π x a d x = - x a - x a cos ⁡ n π x a n π + a - 2 x a 2 sin ⁡ n π x a n 2 π 2 - 2 a 3 n 3 π 3 cos ⁡ n π x a

Substituindo os limites de 0 a a :

- x a - x a cos ⁡ n π x a n π + a - 2 x a 2 sin ⁡ n π x a n 2 π 2 - 2 a 3 n 3 π 3 cos ⁡ n π x a 0 a     →

- a a - a a cos ⁡ n π n π + a - 2 a a 2 sin ⁡ n π n 2 π 2 - 2 a 3 n 3 π 3 cos ⁡ n π - 0 + 0 - 2 a 3 n 3 π 3 cos ⁡ 0     →

Simplificando se lembrando de que sin ⁡ n π = 0 ...

- 2 a 3 n 3 π 3 cos ⁡ n π - - 2 a 3 n 3 π 3     →

- 2 a 3 n 3 π 3 cos ⁡ n π + 2 a 3 n 3 π 3

Podemos simplificar ainda mais se lembrando de que cos ⁡ n π = - 1 n , então...

b n = 2 a ∫ 0 a f x s e n   n π x a d x →

b n = 2 a - 2 a 3 n 3 π 3 - 1 n + 2 a 3 n 3 π 3

b n = 4 a 2 n 3 π 3 - - 1 n + 1

Resposta

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a e - n π y / a  

b n = 4 a 2 n 3 π 3 - - 1 n + 1

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