Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 10
Em cada um dos problemas de 1 a 14, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Primeiro encontre a solução do problema homogêneo.
Então:
Solução homogênea complementar :
Como é a soma de um seno e um produto de uma função polinomial e de cosseno , escolhemos o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução específica. Podemos dizer que temos dois problemas:
Como não há duplicação de partes de e em (tenha cuidado com os argumentos das funções ), escolhemos a solução particular.
Como pode ser explicado no livro, após a apresentação do Caso 3. Em que diz que:
Se a função não homogênea envolver amos e , será conveniente, em geral, tratar esse termos em conjunto, já que cada uma, individualmente, pode gerar a mesma forma de solução particular, uma função terá a forma como:
Desde que e não sejam soluções da equação homogênea.
Passo 2
Encontramos A, B, C e D inserindo o valor de na equação não homogênea inicial. Se:
Substituindo os termos dentro da EDO, teremos:
Devermos derivar o primeiro termo dentro de :
Agora, derivando pela segunda vez o termo pertencente a :
Depois de derivar, teremos:
Unindo os termos em comum, teremos:
Simplificando os termos, temos:
Podemos igualar os termos e , podemos montar um sistema de equações:
Observando as equações, temos:
Substituindo, temos:
Na outra equação:
Substituindo na última equação restante, teremos:
Logo, teremos : , e .
A parte particular da equação será dada por:
A solução geral da nossa EDO é dada por: