Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ D   e - x 2 - y 2   d A ,

onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

Para resolver essa questão, primeiro vamos esboçar a região D para visualizá-la melhor. O enunciado nos fornece a equação x = 4 - y 2 . Reorganizando os termos, obtemos

x 2 = 4 - y ²

x 2 + y 2 = 4

De acordo com a teoria das coordenadas polares, a equação:

x 2 + y 2 = r 2

representa a equação x 2 + y 2 = 4 de uma circunferência de raio 2, r = 2 , centrada na origem.

MAAASSS como nem tudo é um mar de rosas, quando o enunciado diz x = 4 - y 2 , ele na verdade quer dizer x = + 4 - y 2 , ou seja, queremos somente a parte positiva do eixo x , a região D será o semicírculo superior.

Passo 2

Agora que a gente já sabe a região, podemos definir as substituições e os intervalos. Temos então que

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

O nosso ângulo vai estar variando de acordo com a região D, dado o círculo trigonométrico

E a região

Temos então que os intervalos onde nossos valores estão variando são

- π 2 < θ < π 2

0 < r < 2

Passo 3

Agora sim podemos escrever nossa integral em coordenadas polares

Temos então que

∬ D   e - x 2 - y 2   d A = ∬ D   e - ( x 2 + y 2 )   d A

Lembrando que quando a substituição é para coordenadas polares, d A = r   d r   d θ .

∬ D   e - ( x 2 + y 2 )   d A = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - ( ( r cos ⁡ θ ) 2 + r sin ⁡ θ 2 )   r   d r d θ

Então a integral se torna:

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - r ²   r   d r d θ

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro. Usando a substituição u = r 2 , temos que d u = 2 r   d r ou d u 2 = d r :

∫ 0 2 e - r 2 r   d r = ∫ 0 - 4 d u 2 d u

= 1 2 ∫ 0 - 4   e - u   2 d u

Integrando, obtemos:

1 2     e - u   2 0 4 = 1 2 ( - e - 4 + 1 ) = 1 2 ( 1 - e - 4 )

Substituindo de volta na integral externa:

∫ - π / 2 π / 2 1 2 1 - e - 4 d θ

Esta integral é constante em relação a θ :

1 2 1 - e - 4 ∫ - π / 2 π / 2 d θ

Calculando o valor da integral externa:

∫ - π / 2 π / 2 d θ = θ - π / 2 π / 2 = π 2 - - π 2 = π

Então, substituindo de volta:

1 2 1 - e - 4 π = π 2 1 - e - 4

Ala ela, a cara do coisa ruim, isso quer dizer que

∬ D   e - x 2 - y 2   d A = π 2 1 - e - 4

Resposta

∬ D   e - x 2 - y 2   d A = π 2 1 - e - 4

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